Развитие на функцията на Маклорен до х^4

[snoopy_jaba]

Утре имам изпит по вероятности и статистика в УАСГ, а не разбирам задачите.
f(x)=e^x^3
f(x)=e^sin(x)

[Добромир Глухаров]

Например от ТУК виждаме, че редът на Мак-Лорен за експоненциалната функция е $e^u=1+u+\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{6}+\frac{u^4}{24}+\frac{u^5}{120}\cdot e^{\theta u}\ \ \ \ 0\leq\theta\leq1$

Следователно $e^{x^3}=1+x^3+\frac{x^6}{2}+\frac{x^9}{6}+\frac{x^{12}}{24}+\frac{x^{15}}{120}\cdot e^{\theta x^3}\ \ \ \ 0\leq\theta\leq1$ и $e^{sinx}=1+sinx+\frac{sin^2x}{2}+\frac{sun^3x}{6}+\frac{sin^4x}{24}+\frac{sin^5x}{120}\cdot e^{\theta sin x}\ \ \ \ 0\leq\theta\leq 1$

Но това е Анализ, а не Вероятности и Статистика.

[Добромир Глухаров]

$f(x)=e^{sinx}$

$f(x)\sim f(0)+\frac{f'(0)}{1!}\cdot x+\frac{f''(0)}{2!}\cdot x^2+\frac{f'''(0)}{3!}\cdot x^3+\frac{f^{IV}(0)}{4!}\cdot x^4$

$f(0)=e^0=1$

$f'(x)=cosx.e^{sinx}\Rightarrow f'(0)=1.e^0=1$

$f''(x)=-sinx.e^{sinx}+cos^2x.e^{sinx}\Rightarrow f''(0)=-0.e^0+1^2.e^0=1$

$f'''(x)=-cosx.e^{sinx}-sinx.cosx.e^{sinx}+2cosx.(-sinx)e^{sinx}+cos^3x.e^{sinx}\Rightarrow f'''(0)=-1.e^0-0.1.e^0+2.1.(-0).e^0+1^3.e^0=0$

$f^{IV}(x)=sinx.e^{sinx}-cos^2x.e^{sinx}-(cos^2x-sin^2x)e^{sinx}-sinx.cos^2x.e^{sinx}-(sin2x)'_xs^{sinx}-sin2xcosxe^{sinx}+3cos^2x.(-sinx)e^{sinx}+cos^4x.e^{sinx}\Rightarrow f^{IV}(0)=-1-1-cos2x.2|_{x=0}.e^0+1=-3$

$f(x)\sim1+x+\frac{x^2}{2}-\frac{3}{4!}x^4=1+x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}$