2 задачи от вероятности

[Гост]

Здравейте, моля за помощ за следните задачи по вероятности:
1.Как може 12 бели и 12 черни топчета да се поставят в две кутии, така че ако
се избере случайно кутия и се извади от нея топче, вероятността то да е бяло, да е
възможно най-голямата? Колко е тази вероятност?
Според мен трябва да бъдат поставени по равно (по 6 бели и 6 черни) във всяка кутия, за да може така вероятността да е 1/2, без значение коя кутия ще изберем, но дали е така...?
И другата задача:
2.Измежду всички семейства с по три деца е избрано по случаен начин едно и се
оказва, че в това семейство има момче. Каква е вероятността това момче да има
а) по-голям брат и по-голяма сестра?
б) по-голям брат?
в) брат и сестра?

[peyo]

2.Измежду всички семейства с по три деца е избрано по случаен начин едно и се
оказва, че в това семейство има момче. Каква е вероятността това момче да има
а) по-голям брат и по-голяма сестра?
б) по-голям брат?
в) брат и сестра?

Да решим задачата с броене. 3 Деца от които поне едно момче може да има по следните начини ( най-големите са на първо място и т.н.):

момче = 1
момиче = 2
1,1,1
1,1,2
1,2,1
1,2,2
2,1,1
2,1,2

Тези 7 възможности са равновероятни. Тогава просто да броим:

Каква е вероятността това момче да има
а) по-голям брат и по-голяма сестра?

С други думи само 121 и 211, значи отговор $\frac27$

б) по-голям брат?

Такива са 111, 121, 211, 112, значи отговор $\frac47$

в) брат и сестра?

Тук търсим 112, 121, 211, значи отговор $\frac37$

[peyo]

1.Как може 12 бели и 12 черни топчета да се поставят в две кутии, така че ако
се избере случайно кутия и се извади от нея топче, вероятността то да е бяло, да е
възможно най-голямата? Колко е тази вероятност?

Да поставим x бели и y черни топчета в лявата кутия и останалите в дясната. Тогава имаме
лява кутия x+y, а в дясната 12-x + 12-y.

Вероятността да изберем лява или дясна кутия е 0.5. Тогава вяроятността да изберем бяла топка е:

$ p = 0.5\frac{x}{x+y} + 0.5\frac{12-x}{24 - x - y} $

И какво имаме тук? Една хубава функция от 2 променливи на която и търсим максимума. Да решаваме със система от частните производни:

In [101]: f = 0.5*x/(x+y) + 0.5*(12-x)/(24-x-y)

In [102]: solve( [diff(f,x), diff(f,y)])
Out[102]: [{x: 6.00000000000000, y: 6.00000000000000}]


Хм. Получихме, че има екстремум в точка 6,6 (и за късмет са чели числа), тоест разделяме топките по равно. Да видим каква е стойността на вероятността:

In [103]: f.subs(x,6).subs(y,6)
Out[103]: 0.500000000000000

50%, звучи добре и логично. Но дали това е максимум? Да видим:

In [104]: f.subs(x,2).subs(y,8)
Out[104]: 0.457142857142857

In [105]: f.subs(x,5).subs(y,6)
Out[105]: 0.496503496503497

Да, максимум е било, защото други стойности дават по-малка вероятност.

С което задачата е решена.

[pal702004]

1) Дали ако в едната кутия поставя едно бяло топче, а в другата - всички останали, вероятността да извадя бяло няма да превиши 0,5?

2) (1,1,1) е недопустимо по условие. Но е допустимо (2,2,2)

[peyo]

1) Дали ако в едната кутия поставя едно бяло топче, а в другата - всички останали, вероятността да извадя бяло няма да превиши 0,5?

Ок, да видим:

In [130]: f
Out[130]: 0.5*x/(x + y) + (-0.5*x + 6.0)/(-x - y + 24)

In [131]: f.subs(x,1).subs(y,0)
Out[131]: 0.739130434782609

Ти си напълно прав! Функцията f се оказва да има локален максимум, който съм намерил. В момента не се сещам как да намеря глобалния максимум освен да проверя всички възможности. Може би някакъв фокус с неравенства?!

2) (1,1,1) е недопустимо по условие. Но е допустимо (2,2,2)

Нe, момче = 1, момиче = 2. По условие има едно момче, тоест (2,2,2) е недопустимото.

[nikolett]

2.Измежду всички семейства с по три деца е избрано по случаен начин едно и се
оказва, че в това семейство има момче. Каква е вероятността това момче да има
а) по-голям брат и по-голяма сестра?
б) по-голям брат?
в) брат и сестра?

Да решим задачата с броене. 3 Деца от които поне едно момче може да има по следните начини ( най-големите са на първо място и т.н.):

момче = 1
момиче = 2
1,1,1
1,1,2
1,2,1
1,2,2
2,1,1
2,1,2

Тези 7 възможности са равновероятни. Тогава просто да броим:

Каква е вероятността това момче да има
а) по-голям брат и по-голяма сестра?

С други думи само 121 и 211, значи отговор $\frac27$

б) по-голям брат?

Такива са 111, 121, 211, 112, значи отговор $\frac47$

в) брат и сестра?

Тук търсим 112, 121, 211, значи отговор $\frac37$

За тази задача аз разсъждавам по следния начин:
имаме едно случайно избрано момче: M , то може да има Брат: Б и/или Сестра:С, съответно получавам следните възможности(най-малкият е на първо място):
МББ, МСС, МБС , МСБ, СМС, БМБ, БМС, СМБ, ББМ, ССМ, БСМ, СБМ
=> общо възможностите са 12
а) по-голям брат и по-голяма сестра - МБС и МСБ = 2/12 = 1/6
б) по-голям брат: МББ,МБС.МСБ,БМБ,СМБ = 5/12
в) брат и сестра - МБС,МСБ,БМС,СМБ,БСМ,СБМ = 6/12 =1/2,
което се различава от Вашият подход, може ли мнение ?

[peyo]

За тази задача аз разсъждавам по следния начин:
имаме едно случайно избрано момче: M , то може да има Брат: Б и/или Сестра:С, съответно получавам следните възможности(най-малкият е на първо място):
МББ, МСС, МБС , МСБ, СМС, БМБ, БМС, СМБ, ББМ, ССМ, БСМ, СБМ
=> общо възможностите са 12
а) по-голям брат и по-голяма сестра - МБС и МСБ = 2/12 = 1/6
б) по-голям брат: МББ,МБС.МСБ,БМБ,СМБ = 5/12
в) брат и сестра - МБС,МСБ,БМС,СМБ,БСМ,СБМ = 6/12 =1/2,
което се различава от Вашият подход, може ли мнение ?

Когато имаме съмнение за отговора на някоя задача свързана с вероятности има само един сигурен начин да разберем кой е верния отговор. А това е като направим симулация, например на точка а):

Код: Избери целия код

from random import choice
N=1000000; S3 = 0; p=0
for _ in range(N):
   dx=[choice([1, 2]), choice([1, 2]), choice([1, 2])]
   if dx == [2,2,2]:
      continue
   S3+=1
   if dx[0] != 1:
      continue
   if (dx[1] == 1 and dx[2] == 2) or (dx[1] == 2 and dx[2] == 1):
      p+=1
print p, S3, N, p/S3

249524 874616 1000000 0.285295489678

In [177]: 1/6
Out[177]: 0.16666666666666666

In [178]: 2/7
Out[178]: 0.2857142857142857

Виждаме, че моя отговор съвпада с този на симулацията, трябва моето решение да е вярно.

[nikolett]

Да, защото въпросната симулация е пригодена към начина, по който Вие мислите, според мен. За а) Вие приемате за благоприятен случая 211, но какво става, ако въпросното момче, за което се говори в условието е това средното по големина, тогава има ли по-голям брат и по-голяма сестра? Не мисля.

[peyo]

Да, защото въпросната симулация е пригодена към начина, по който Вие мислите, според мен. За а) Вие приемате за благоприятен случая 211, но какво става, ако въпросното момче, за което се говори в условието е това средното по големина, тогава има ли по-голям брат и по-голяма сестра? Не мисля.

Не, симулацията ми няма нищо общо с първото ми решение, аз въобще не го гледах когато я писах. Даже там сега гледам, че най-голямото дете е на първо място, затова 211 е благоприятно, а в симулациятя ми съм обърнал реда и е 112.

Подозирам, че грешката в твоето решение е, че тези 12 комбинации не са равновероятни. А дори не съм сигурен как може да им сметнем индивидуалната вероятност на всяко, защото например СМС може би ще се пада толкова често колкото МББ, ББМ и БМБ взети заедно.