Няколко задачи от комбинаторика

[Гост]

1. По колко начина можем да подредим 10 книги върху рафт така, че 3 определени от тях да са в пакет (между тях няма други книги).
2. Ако сме попълнили фиш с 6 числа, колко са случаите на ТОТО (6 от 49), при които ще има три числа от нашия фиш?
3. Колода от 36 карти произволно е разделена на две равни части. Колко са случаите в които в двете части ще има равен брой черни и червени карти?
4. Хвърлят се 4 зара, колко са случаите, когато се падат поне 1 шестица?
5. В магазин се продават 4 вида бира: А, Б, В, Г. По колко начина могат да се закупят 7 бири?
6. По колко начина могат да се вкарат 15 номерирани билярдни топки в 6 джоба на билярда?
7. По колко различни начина група от 4 момичета и 2 момчета може да се раздели на 2 групи по трима, така че във всяка група да има по едно момче (редът на групите и на хората в тях е несъществен)?
8. По колко различни начина група от 6 момичета и 3 момчета може да се раздели на 3 групи по трима, така че във всяка група да има по едно момче (редът на групите и на хората в тях е несъществен) ?
9. По колко различни начина 10 студенти могат да се настанят в три стаи с две, три и пет легла съответно?
10. . На танцова забава има 20 момичета и 25 момчета. По колко начина могат да се образуват 8 танцови двойки?
11. По колко различни начина 9 души се разпределят в три групи по трима (редът на групите и на хората в групите не е съществен)?

Искам да задам също един въпрос, защото не ми е много ясно - как да различаваме пермутации, вариации и комбинации без повторения от тези с повторения, бих се радвала на някакъв кратък пример или разяснение

Не ме разбирайте погрешно - това не е домашна, имам отговорите на всички задачи, просто не мога да разбера логиката и начина на решението.
Благодаря за помощта предварително .

[peyo]

5. В магазин се продават 4 вида бира: А, Б, В, Г. По колко начина могат да се закупят 7 бири?

Това е учудващо трудна задача.

1|2|3|4|5|6|7

Ако са само от 1 вид имаме 4 начина.
1111111

Ако са само от 2 вида имаме ((4*3)/(2*1))*(6)
111|2222
Ако са само от 3 вида имаме ((4*3*2)/(3*2*1))*((6*5)/(2*1))
111|22|33
Ако са само от 4 вида имаме ((4*3*2*1)/(4*3*2*1))*((6*5*4)/(3*2*1))
1|22|33|44

Общо:

In [51]: 4+((4*3)/(2*1))*(6)+((4*3*2)/(3*2*1))*((6*5)/(2*1))+((4*3*2*1)/(4*3*2*1))*((6*5*4)/(3*2*1))
Out[51]: 120.0

(*тук приложихме нещо, което аз наричам метод на разделителите)

[peyo]

3. Колода от 36 карти произволно е разделена на две равни части. Колко са случаите в които в двете части ще има равен брой черни и червени карти?

В 36 карти има 18 червени и 18 черни, за улеснение 18ч и 18ч.
Тогава в първата част ще има 9ч и 9ч както и във втората за улеснение 9ч1,9ч1 и 9ч2,9ч2.
Подредбата на картите в коя да е част не е важна, в която и да е игра на карти. Хмммм.... а, може би е важна в някои игри където картите не се раздават всички в началото на играта. Например тексас холдем покер. Но за улеснение ще приемем, че нашия случай не е такъв.
За първата част може да изберем 9ч1 карти от 18ч по
(18*17*16*15*14*13*12*11*10)/(9*8*7*6*5*4*3*2*1) = 48620
и пак за първата част може да изберем 9ч1 карти от 18ч по
(18*17*16*15*14*13*12*11*10)/(9*8*7*6*5*4*3*2*1) = 48620
или общо
48620*48620 = 2363904400
Втората част има само 1 начин когато първата част вече е избрана (това няма да е случая за тексас холдем), затова крайния отговор е:
2363904400*1=2363904400

[peyo]

2. Ако сме попълнили фиш с 6 числа, колко са случаите на ТОТО (6 от 49), при които ще има три числа от нашия фиш?

Числата вече сме ги попълнили по един начин, например това са:
1,2,3,4,5,6

3 от тях можем да изберем по (6*5*4)/(3*2*1) = 20 начина. Останалите 3 можем да изберем по ((49-6)*(48-6)*(47-6))/(3*2*1) = 12341 начина.
Или ще имаме 20 * 12341 = 246820 случая на тройки с нашия фиш.

[peyo]

6. По колко начина могат да се вкарат 15 номерирани билярдни топки в 6 джоба на билярда?

Да започнем да слагаме топките по джобовете, които както и топките също са именувани (A,B,C,D,E,F) една по една по ред на номерата.

1-вата топка може да влезе в 6 джоба,
2-рата топка може да влезе в 6 джоба, стават 6*6 възможни начина
3-тата топка може да влезе в 6 джоба, стават $6^3$
...
15-тата топка може да влезе в 6 джоба, стават $6^{15} = 470184984576$

Сега да видим дали може да елиминираме повторенията. Понеже слагаме топките по ред на номерата няма как в някой джоб да има пермутации от едни и същи топки, значи няма повторения. Изглежда това е и крайния отговор.

А ако джобовете не бяха именувани щяхме да имаме повторения, които трябваше да елиминираме, но за наш късмет те са.

[peyo]

10. . На танцова забава има 20 момичета и 25 момчета. По колко начина могат да се образуват 8 танцови двойки?

За двойките ни трябват 8 момичета и 8 момчета.
8 момичета от 20 можем да изберем по 20*19*18*17*16*15*14*13/(8*7*6*5*4*3*2*1) = 125970 начина.
8 момчета от 25 можем да изберем по 25*24*23*22*21*20*19*18/(8*7*6*5*4*3*2*1) = 1081575 начина.

Значи имаме 125970 * 1081575 = 136246002750 да избере 8 момичета и 8 момчета.

Сега да ги разпределим по двойки. Първото момиче може да избере от 8 момчета, второто от 7, третото от 6 и т.н. Значи по 8*7*6*5*4*3*2*1=40320 начина може да образуваме 8 двойки.

И така 136246002750 * 40320 = 5493438830880000 начина краен отговор.