задача от изпит по ТВМС - ако може малко разяснение

[blonddy]

Имаме числата от 2 до 14.От тях се теглят три без повторение.Да се пресметне вероятността на събитията:
А={сумата на трите числа да се дели на 3}
B={средното по големина да е 8}

За А нямам никаква идея как ще стане.Може би има някакво условие сумата на 3 числа да се деи на 3 , но аз не го знам .А за B го мислех така

zad.gif (1.11 KiB) Прегледано 903 пъти

, но ми излиза по-голямо от 1 и нещо не мога да измисля друг начин.Ако може малко да ми помогнете....
Благодаря и предварително

[Martin Nikovski]

В: Имаме общо [tex]13[/tex] числа. Едно от изтеглените три (и то средното по големина), е [tex]8[/tex].
Възможните събития са [tex]C_{13}^1[/tex] на брой, като от тях само едно е благоприятно (числото [tex]8[/tex]). Следователно вероятността едно от числата да е [tex]8[/tex] е [tex]k_1=\frac{1}{C_{13}^1 }=\frac{1}{13 }[/tex]
Аналогично за останалите две числа... Вероятностите за всяко от тях са съответно [tex]k_2=\frac{1}{C_6^1 }=\frac{1}{6 }[/tex] и [tex]k_3=\frac{1}{C_6^1 }=\frac{1}{6 }[/tex].
За да намерим решението, пресмятаме [tex]k[/tex]...
[tex]k=k_1k_2k_3=\frac{1}{13 }. \frac{1}{6 }. \frac{1}{6 }=\frac{1}{468 }[/tex]
НЕВЯРНО!!! (много невярно даже)

[blonddy]

Изглежда доста логично стига да има кой да се сети.Мерси многооооо!Само още едно въпросче:
C={Най-голямото число да е 9} пак ли се смята на този принцип?

[Martin Nikovski]

А... всъщност сега виждам, че съм се объркал... Решението ми щеше да бъде вярно, ако другите две числа бяха точно определени. Така че всъщност ВЯРНОТО решение е:
[tex]k_1=\frac{1}{C_{13}^1 } =\frac{1}{13}[/tex]...
За второто число остават [tex]13-1=12[/tex] възможности, а от тях [tex]C_6^1[/tex] са благоприятни.
Тогава [tex]k_2=\frac{C_6^1}{13-1 } =\frac{6}{12 }=\frac{1}{2 }[/tex].
За третото число остават [tex]13-2=11[/tex] възможности, а от тях [tex]C_6^1[/tex] са благоприятни.
Тогава [tex]k_3=\frac{C_6^1}{13-2 }=\frac{6}{11 }[/tex].
Окончателно: [tex]k=k_1.k_2.k_3=\frac{1}{13 }.\frac{1}{2 } .\frac{6}{ 11} =\frac{3}{143}[/tex].

[Martin Nikovski]

Ако другите две числа са по-малки от [tex]9[/tex], дори можем да опростим леко нещата, тъй като останалите две числа са по-малки от [tex]9[/tex]...
[tex]k_1=\frac{1}{C_{13}^1 } =\frac{1}{13}.[/tex]
[tex]k_2=\frac{C_7^2}{C_{12}^2 } =\frac{\frac{7!}{2!.5! } }{\frac{12!}{2!.10! } }=\frac{7!.10!}{5!.12! } =\frac{6.7}{11.12 }=\frac{7}{22 }[/tex].
[tex]k=k_1.k_2=\frac{1}{13 }.\frac{7}{22 }=\frac{7}{286 }[/tex].
Но... може и по предишния начин: [tex]k=\frac{1}{13 }.\frac{7}{12 } .\frac{6}{11 } =\frac{7}{286 }[/tex].

[Martin Nikovski]

А: Разглеждаме няколко случая:
1. И трите числа се делят на [tex]3[/tex]... Тогава можем да сме сигурни, че сборът им също се дели на [tex]3[/tex].
Измежду числата от [tex]2[/tex] до [tex]14[/tex] има точно [tex]4[/tex] числа, които се делят на [tex]3[/tex] - това са числата [tex]3[/tex], [tex]6[/tex], [tex]9[/tex] и [tex]12[/tex].
Възможните комбинации с тях са [tex]C_4^3[/tex], а вероятността те да се случат - [tex]k_1=\frac{C_4^3}{C_{13}^3 } =\frac{\frac{4!}{3!.1! } }{\frac{13!}{3!.10! } }=\frac{2}{143 }[/tex].

2. Две от числата се делят на [tex]3[/tex]...
2.1. Третото число също се дели на [tex]3[/tex], т.е. случай 2.1. съвпада със случай 1.
2.2. Третото число не се дели на [tex]3[/tex], следователно и сборът не се дели на [tex]3[/tex].

3. Само едно от числата се дели на [tex]3[/tex]...
3.1. Другите две числа също се делят на [tex]3[/tex], т.е. случай 3.1. съвпада със случай 1.
3.2. Само едно от другите две числа се дели на [tex]3[/tex], т.е. случай 3.2. съвпада със случай 2.2.
3.3. Другите две числа не се делят на [tex]3[/tex] и са от вида [tex]3n+1[/tex], следователно сборът им е [tex]3n_1+1+3n_2+1=3(n_1+n_2)+2[/tex] (не се дели на [tex]3[/tex]).
3.4. Другите две числа не се делят на [tex]3[/tex] и са от вида [tex]3n+2[/tex], следователно сборът им е [tex]3n_1+2+3n_2+2=3(n_1+n_2+1)+1[/tex] (не се дели на [tex]3[/tex]).
3.5. Другите две числа не се делят на [tex]3[/tex], като едното от тях е от вида [tex]3n+1[/tex], а другото - от вида [tex]3n+2[/tex], следователно сборът им е [tex]3n_1+1+3n_2+2=3(n_1+n_2+1)[/tex] (дели се на [tex]3[/tex]).
Пресмятаме вероятността едно от числата да се дели на [tex]3[/tex] (тъй като сме в случай 3.)... Тя е [tex]p_1=\frac{4}{13 }[/tex].
Измежду числата от [tex]2[/tex] до [tex]14[/tex] има точно [tex]4[/tex] числа от вида [tex]3n+1[/tex] - това са числата [tex]4[/tex], [tex]7[/tex], [tex]10[/tex] и [tex]13[/tex].
Тогава за второто число вероятността е [tex]p_2=\frac{4}{13-1 }=\frac{4}{12 }=\frac{1}{3 } .[/tex]
Измежду числата от [tex]2[/tex] до [tex]14[/tex] има точно [tex]5[/tex] числа от вида [tex]3n+2[/tex] - това са числата [tex]2[/tex], [tex]5[/tex], [tex]8[/tex], [tex]11[/tex] и [tex]14[/tex].
Тогава за третото число вероятността е [tex]p_3=\frac{5}{13-2 }=\frac{5}{11 } .[/tex]
[tex]k_2=p_1.p_2.p_3=\frac{4}{13 }.\frac{1}{3 }.\frac{5}{11 }=\frac{20}{429 }.[/tex]

4. Нито едно от числата не се дели на [tex]3[/tex]...
4.1. И трите числа са от вида [tex]3n+1[/tex], следователно сборът им е [tex]3n_1+1+3n_2+1+3n_3+1=3(n_1+n_2+n_3+1)[/tex] (дели се на [tex]3[/tex]).
Измежду числата от [tex]2[/tex] до [tex]14[/tex] има точно [tex]4[/tex] числа от вида [tex]3n+1[/tex] - това са числата [tex]4[/tex], [tex]7[/tex], [tex]10[/tex] и [tex]13[/tex].
Възможните комбинации с тях са [tex]C_4^3[/tex], а вероятността те да се случат - [tex]k_3=\frac{C_4^3}{C_{13}^3 } =\frac{\frac{4!}{3!.1! } }{\frac{13!}{3!.10! } }=\frac{2}{143 }[/tex].
4.2. И трите числа са от вида [tex]3n+2[/tex], следователно сборът им е [tex]3n_1+2+3n_2+2+3n_3+2=3(n_1+n_2+n_3+2)[/tex] (дели се на [tex]3[/tex]).
Измежду числата от [tex]2[/tex] до [tex]14[/tex] има точно [tex]5[/tex] числа от вида [tex]3n+2[/tex] - това са числата [tex]2[/tex], [tex]5[/tex], [tex]8[/tex], [tex]11[/tex] и [tex]14[/tex].
Възможните комбинации с тях са [tex]C_5^3[/tex], а вероятността те да се случат - [tex]k_4=\frac{C_5^3}{C_{13}^3 } =\frac{\frac{5!}{3!.2! } }{\frac{13!}{3!.10! } }=\frac{5}{143 }[/tex].
4.3. Две от числата са от вида [tex]3n+1[/tex], а третото - от вида [tex]3n+2[/tex], следователно сборът им е [tex]3n_1+1+3n_2+1+3n_3+2=3(n_1+n_2+n_3+1)+1[/tex] (не се дели на [tex]3[/tex]).
4.4. Две от числата са от вида [tex]3n+2[/tex], а третото - от вида [tex]3n+1[/tex], следователно сборът им е [tex]3n_1+2+3n_2+2+3n_3+1=3(n_1+n_2+n_3+1)+2[/tex] (не се дели на [tex]3[/tex]).

Тъй като случаите са независими (не се застъпват), получаваме, че:
[tex]k=k_1+k_2+k_3+k_4=\frac{2}{143 } +\frac{20}{429 } +\frac{2}{143 } +\frac{5}{143 } =\frac{47}{429 } .[/tex]
П.П. Определено можеше и по-кратко, но реших да разпиша случаите...

[blonddy]

Мерси страшно много за подробното обяснение.Наистина разбрах нещата.Спечели си няколко питиета от мен

[L.e.o]

Имаме 13 броя цифри/числа, от 2 до 14, групиране по 3.
Възможните комбинации са:
(13/3) = 286
Тези комбинации разбити по суми и прилежаптите им варианти за получавене на тези суми:
Сума / Варианти за получаване на тази сума:
9 1
10 1
11 2
12 3
13 4
14 5
15 7
16 8
17 10
18 12
19 14
20 15
21 17
22 17
23 18
24 18
25 18
26 17
27 17
28 15
29 14
30 12
31 10
32 8
33 7
34 5
35 4
36 3
37 2
38 1
39 1

А е равно на комбинациите за получване на сумите 9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39 делено на всички комбинации:
А = 98/286
Ако средното е 8, то сумата от 3 средни е 24. Броя комбинации за получаване на сумата 24 e 18.
B = 18/286

[Martin Nikovski]

Отново поправка за B.:
Тъй като числото [tex]8[/tex] е определено, няма нужда да изчисляваме неговата вероятност. То служи само за да определи откъде можем да избираме останалите 2 числа.
За първото число имаме [tex]6[/tex] благоприятни възможности (числата, по-малки от [tex]8[/tex])...
За второто число също имаме [tex]6[/tex] благоприятни възможности (числата, по-големи от [tex]8[/tex])...
Следователно броят на благоприятните тройки числа (числото [tex]8[/tex] и другите две числа) e [tex]6.6=36[/tex].
Вероятността за тях е [tex]k=\frac{36}{C_{13}^3 } =\frac{36}{286 }=\frac{18}{143 }[/tex].
П.П. Гарантирам, че този път е абсолютно вярно!!! Първоначалното ти решение е почти вярно, само трябва да махнеш [tex]C_{13}^1[/tex] от числителя...

[L.e.o]

B = 18/286 , aко средното аритметично на сумата е 8.
Ако търсиме (май това се търси) група от числа/цифри(a,b,c), за които:
Условие 1: а= 8 , вероятноста за това е p1 = 1/13
Условие 2: b[tex]\ne[/tex]8 , вероятноста за това е p2 = 12/12 = 1
Условие 3: c[tex]\ne[/tex] 8,b , вероятноста за това е p3 = 6/11
(3-те условия не са независими)
Извършване конюнкция и намираме броя комбинации или вероятността 3-те условия да са изпълнени:
B=12/286

[L.e.o]

Мартин Никовски,
Бъркаш.
Ако 1-вото е 8, за 2рото имаме 12 благоприятни условия, защото то трявба да е различно само от 8, но все още няма ограничение дали да е по-голямо или по-малко от 8. Такова ограничение ще бъде наложено чак за 3-тото число в зависимост какво е 2рото: ако 2рото е <8, 3тото да е >8, а ако 2рото е >8, то 3тото да е <8.
Тоест след като сме изтеглили числото 8 (с вер. 1/13), то за 2ро число каквото и да изтеглим от останалите 12 ще ни върши работа. p2 = 12/12=1

A=47/429 ? В знаменател трябва да имаш 286 или нещо кратно на него. Всяко друго нещо е очевидно грешно.

[Martin Nikovski]

Не, мисля, че ти бъркаш... Не забравяй, че аз не съм отчитал вероятността за числото [tex]8[/tex], а го използвам само като ориентир за останалите две числа...
А за A: съм съгласен, след малко ще го оправя...

[Martin Nikovski]

Следва поправка и за A:
3.5. Другите две числа не се делят на [tex]3[/tex], като едното от тях е от вида [tex]3n+1[/tex], а другото - от вида [tex]3n+2[/tex], следователно сборът им е [tex]3n_1+1+3n_2+2=3(n_1+n_2+1)[/tex] (дели се на [tex]3[/tex]).
Едно от числата се дели на [tex]3[/tex], следователно за него има [tex]4[/tex] благоприятни възможности. (числата [tex]3[/tex], [tex]6[/tex], [tex]9[/tex] и [tex]12[/tex]).
Второто число е от вида [tex]3n+1[/tex], следователно за него има [tex]4[/tex] благоприятни възможности. (числата [tex]4[/tex], [tex]7[/tex], [tex]10[/tex] и [tex]13[/tex]).
Третото число е от вида [tex]3n+2[/tex], следователно за него има [tex]5[/tex] благоприятни възможности. (числата [tex]2[/tex], [tex]5[/tex], [tex]8[/tex], [tex]11[/tex] и [tex]14[/tex]).
Благоприятните тройки числа са [tex]4.4.5=80[/tex], а вероятността да се случат те:
[tex]k_2=\frac{80}{C_{13}^3 }=\frac{80}{286 } =\frac{40}{143 }[/tex].

Окончателно: [tex]k=k_1+k_2+k_3+k_4=\frac{2}{143 }+\frac{40}{143 }+\frac{2}{143 }+\frac{5}{143 } =\frac{49}{143 }[/tex].
П.П. Вярна се оказа поговорката, че утрото е по-мъдро от вечерта... Повече никакво решаване на задачи в късните часове...

[L.e.o]

Условие 1: а= 8 , вероятноста за това е p1 = 1/13
ми е грешно.
Правилнито условия са:
Условие 1: a,b или с = 8 , вероятноста за това е p1 = 3/13 (да имаме осмица)
Условие 2: b различно от 8 , вероятноста за това е p2 = 12/12 = 1 (да имаме число различно от 8)
Условие 3: c <> 8 в зависимост от b , вероятноста за това е p3 = 6/11 (3-тото да е <>8 в зависимост от 2рото)

B= 3/13 * 6/ 11 = 36/286