Вероятност

[Гост]

Привет,
може ли насоки по тази задача?

задача: Тест за дава положителен резултат при заразен човек с вероятност 0.9 и отрицателен резулат при незаразен човек с вероятност 0.8. Каква е вероятността, човек да не е заразен, ако два последователни теста са дали отрицателен резултат?

[Davids]

Започваме със запис на условието на по-формален език:
Нека въведем събитията $A := $ човекът е заразен, а $B_i := i$-тият тест е положителен (е, очевидно при нас $i \in \{1, 2\}$). С $A^c$ ще бележим обратното на $A$ събитие, а стандартно ще означаваме с $A\mid B$ събитието "А при условие В".

Дадено ни е:
$\mathbb{P}(B_i \mid A) = 0.9$
$\mathbb{P}(B_i^c\mid A^c) = 0.8$

Търсим:
$\mathbb{P}(A^c\mid B_1\cap B_2) = ~?$

Първо да отбележим, че двата теста са независими събития (е, освен общото звено, че ги провеждаме върху един и същи човек).
Второ, автоматично от даденото знаем (по дефиниция на вероятностната функция), че:
$\mathbb{P}(B_i^c \mid A) = 0.1$ (вероятност за false negative)
$\mathbb{P}(B_i\mid A^c) = 0.2$ (вероятност за false positive)

Това бяха просто наблюдения, сега ще минем към разглеждане на търсеното:

$\mathbb{P}(A^c\mid B_1\cap B_2) \stackrel{Bayes}{=} \frac{\mathbb{P}(B_1\cap B_2\mid A^c)\cdot\mathbb{P}(A^c)}{\mathbb{P}(B_1\cap B_2)} \stackrel{B_1\bot B_2}{=} \frac{\left(\mathbb{P}(B_i\mid A^c)\right)^2\cdot\mathbb{P}(A^c)}{\left(\mathbb{P}(B_i)\right)^2} = \frac{0.04\cdot\mathbb{P}(A^c)}{\left(\mathbb{P}(B_i\mid A)\cdot \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B_i\mid A^c)\cdot\mathbb{P}(A^c)\right)^2} = \frac{0.04\cdot\mathbb{P}(A^c)}{\left(0.9\cdot (1 - \mathbb{P}(A^c)) + 0.2\cdot\mathbb{P}(A^c)\right)^2}$

Мързи ме да дописвам сметките, но тук някъде се осъмнявам,че липсва информация за конкретен извод - въртим, сучем, трябват ни глобални данни или за $А$, или за $B$... или може би не тълкувам условието правилно?

[pal702004]

$P=\frac{0,8\cdot 0,8}{0,8\cdot 0,8+0,1\cdot 0,1}=\frac{64}{65}$

[pal702004]

Съгласен съм с Davids, че липсва информация. Липсват обективни данни за реалното състояние на човека. Например: В града живеят 10000 души, от които 9000 са болни и 1000 здрави. Всички те отиват на тест. Какво ще стане:

От здравите - 800 отрицателни и 200 положителни.
От болните - 900 отрицателни и 8100 положителни.

Така че при отрицателен резултат в случая е по-вероятно човека да е бил болен.
Съвсем друга е картината, ако в града здравите са повече.
Така че щом нямаме обективна оценка за отношението болни/здрави - нищо не можем да кажем.
Формулата по-горе е при 50:50

[peyo]

Задачата беше за Covid и я реших тук с реални данни за България по това време 13 Мар 2021:
https://www.matematika.bg/f/viewtopic.php?f=68&t=26321#p107604

[Гост]

$P=\frac{0,8\cdot 0,8}{0,8\cdot 0,8+0,1\cdot 0,1}=\frac{64}{65}$

Дали може да напишете, коя формула използвате?
Благодаря!

[pal702004]

Дали може да напишете, коя формула използвате?
Благодаря!

$P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

[Гост]

Дали може да напишете, коя формула използвате?
Благодаря!

$P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Много благодаря

[Гост]

$P=\frac{0,8\cdot 0,8}{0,8\cdot 0,8+0,1\cdot 0,1}=\frac{64}{65}$

Дали може да напишете, коя формула използвате?
Благодаря!

По формулата за условна вероятност, може ли да напишете кое какво е преди да заместите с цифрите?