Вероятности

[Гост]

Задача 46.
Когато зар се хвърля два пъти последователно, вероятността да се падне един и същ
брой точки (чифт) е 1/6. От това следва ли, че зарът е правилен (т.е. че всички числа
от 1 до 6 имат еднаква вероятност 1/6)?

Задача 47.
Двама стрелци уцелват мишената с вероятност съответно 0,8 и 0,9 (при един
изстрел). Намерете разпределението на общия брой попадения в целта, ако първият
стрелец стреля веднъж, а вторият стрелец стреля два пъти.

[peyo]

Задача 46.
Когато зар се хвърля два пъти последователно, вероятността да се падне един и същ
брой точки (чифт) е 1/6. От това следва ли, че зарът е правилен (т.е. че всички числа
от 1 до 6 имат еднаква вероятност 1/6)?

Първо да се опитаме да намерим случай за 1/6 с неправилен зар. Да предположим, че зара не е правилен и има разпределение:
1/2,1/10,1/10,1/10,1/10,1/10

Това е възможен зар:
In [6]: 1/2+1/10+1/10+1/10+1/10+1/10
Out[6]: 0.9999999999999999

И сега каква е вероятността за падане на 2 еднакви при 2 хвърляния:

За 1:
(1/2)*(1/2)
За останалите
5*(1/10)*(1/10)

Общо (1/2)*(1/2) + 5*(1/10)*(1/10) = 0.3

Хм. Изглежда ще трябва зара да е правилен, но как да го докажем?

Нека всяка страна има вероятноста $p_i$

[tex]\sum_{i=1}^{6 }p_i = 1[/tex]

Вероятността за 2 еднакви при две хвърляние ще е:

[tex]\sum_{i=1}^{6 }p_i ^2 = 1/6[/tex]


Да представим лявата страна като функция на 5 променливи:
[tex]Е = (1 - \sum_{i=2}^{6 }p_i ) ^2 + \sum_{i=2}^{6 }p_i ^2[/tex]

[tex]Е = (1 - p_2 - p_3- p_4- p_5- p_6 ) ^2 + p_2^2 + p_3^2 + p_4^2 + p_5^2 + p_6^2[/tex]

И сега търсим минимум, защото вече знаем, че имаме и по-големи стойности от 1/6.

In [22]: Е = simplify(expand((1 - p_2 - p_3- p_4- p_5- p_6 ) **2 + p_2**2 + p_3**2 + p_4**2 + p_5**2 + p_6**2))

In [23]: print(latex(E))
$2 p_{2}^{2} + 2 p_{2} p_{3} + 2 p_{2} p_{4} + 2 p_{2} p_{5} + 2 p_{2} p_{6} - 2 p_{2} + 2 p_{3}^{2} + 2 p_{3} p_{4} + 2 p_{3} p_{5} + 2 p_{3} p_{6} - 2 p_{3} + 2 p_{4}^{2} + 2 p_{4} p_{5} + 2 p_{4} p_{6} - 2 p_{4} + 2 p_{5}^{2} + 2 p_{5} p_{6} - 2 p_{5} + 2 p_{6}^{2} - 2 p_{6} + 1$

In [20]: solve([E.diff(p_2),E.diff(p_3),E.diff(p_4),E.diff(p_5),E.diff(p_6)])
Out[20]: {p_2: 1/6, p_3: 1/6, p_4: 1/6, p_5: 1/6, p_6: 1/6}

Получихме единствено решение където всяка вероятност е равна на 1/6 с което решихме и задачата: да, зара е правилен.

[peyo]

Задача 47.
Двама стрелци уцелват мишената с вероятност съответно 0,8 и 0,9 (при един
изстрел). Намерете разпределението на общия брой попадения в целта, ако първият
стрелец стреля веднъж, а вторият стрелец стреля два пъти.

Може да имаме 0,1, 2 или 3 попадения.
0: (1-0.8)*(1-0.9)*(1-0.9) = 0.0019999999999999987
1: (0.8)*(1-0.9)*(1-0.9) + (1-0.8)*(0.9)*(1-0.9) + (1-0.8)*(0.9)*(1-0.9) = 0.043999999999999984
2: (0.8)*(0.9)*(1-0.9) + (0.8)*(1-0.9)*(0.9) + (1-0.8)*(0.9)*(0.9) = 0.30599999999999994
3: (0.8)*(0.9)*(0.9) = 0.6480000000000001

Да направим една провврка дали сме смятали правилно:
In [29]: 0.0019999999999999987 + 0.043999999999999984 + 0.30599999999999994 + 0.6480000000000001
Out[29]: 1.0