Изпит по Вероятности

[Ivan02]

Здравейте, може ли да ми помогнете с този изпит по Теория на вероятностите

[Гост]

Можем, давай мейла на даскала направо на него да пращаме. Няма смисъл да си пощенска кутия.

[peyo]

Здравейте, може ли да ми помогнете с този изпит по Теория на вероятностите

Задача 4 е много интересна!

Да нарисуваме картинката в Geogebra Classic.

https://www.geogebra.org/classic/xwb7rrft

okryzhnosti_prob1.png (1.14 MiB) Прегледано 1272 пъти

okryzhnosti_prob11.png (1.14 MiB) Прегледано 1272 пъти

okryzhnosti_prob12.png (1.15 MiB) Прегледано 1272 пъти

След малко проби установяваме следната зависимост. Малката окръжност е 1/4 от голямата, когато точката P е в центъра на окръжнсотта и става 0 когато е върху окръжността.
Лицето на малката окръжност намалява спрямо разстоянието x = d/r до центъра по формулата:
1/8r = 3.94/4
1/4r = 3.75/4
1/2r = 3/4
3/4r = 1.75/4
7/8r = 0.94/4

Търсим аналитична формула, която генерира горните числа.

$1-x^2$ пасва точно.

Значи отношението [tex]\frac{S_{\triangle_1}}{S_\triangle}[/tex] като функция на x e:
[tex]\frac{S_{\triangle_1}}{S_\triangle} = \frac{1}{4}(1-x^2)[/tex]

Но x не е равномерно разпределено, защото е радиуса на единичната окръжност.

Да изследваме с програма разпределението на радиусите:

Код: Избери целия код

from random import random
import numpy as np
n,N = 0, 1000000
K = 100
R = [0]*K
R = np.array(R)
r_average = 0
res_average = 0
P=0
for i in range(N):
   x,y = random(),random()
   r = math.sqrt(x**2+y**2)
   if r <1:
      P+=1
      R[int(r*K)]+=1
      r_average += r
      res_average += (1-r**2)/4
      
print(R/P,P,N,K, r_average/P, res_average/P)


import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(R/P); plt.show()


[7.76553680e-05 2.73703346e-04 5.01577295e-04 7.49819865e-04
8.64393359e-04 1.12918543e-03 1.24248589e-03 1.52000835e-03
1.70587202e-03 1.92101558e-03 2.10051405e-03 2.39585906e-03
2.56008107e-03 2.70902661e-03 2.83887657e-03 3.21824214e-03
3.27170977e-03 3.41301708e-03 3.76055667e-03 3.91968653e-03
4.24176535e-03 4.25449574e-03 4.66314120e-03 4.62749611e-03
4.86300829e-03 5.04505284e-03 5.32130227e-03 5.60137081e-03
5.79614575e-03 6.02147362e-03 6.30154216e-03 6.25825884e-03
6.59816020e-03 6.68981900e-03 6.84512974e-03 7.08955319e-03
7.41035897e-03 7.34670703e-03 7.79354366e-03 7.77699415e-03
8.20600823e-03 8.15890580e-03 8.58028165e-03 8.45425080e-03
9.12259618e-03 9.01438788e-03 9.42176031e-03 9.20025155e-03
9.83931704e-03 9.71965139e-03 1.02530547e-02 1.02390512e-02
1.04452835e-02 1.07953692e-02 1.08055535e-02 1.10767108e-02
1.13364107e-02 1.14458920e-02 1.17246875e-02 1.17361449e-02
1.22720942e-02 1.24312241e-02 1.24108555e-02 1.24859647e-02
1.29837229e-02 1.31530371e-02 1.31110268e-02 1.33312625e-02
1.35705938e-02 1.37055359e-02 1.40938128e-02 1.41230927e-02
1.45699293e-02 1.48410866e-02 1.49467488e-02 1.49492949e-02
1.52204521e-02 1.54712408e-02 1.57665858e-02 1.62681631e-02
1.59613607e-02 1.59817293e-02 1.67251840e-02 1.66615321e-02
1.71312834e-02 1.72051197e-02 1.74037137e-02 1.74075328e-02
1.77003318e-02 1.78912876e-02 1.79753081e-02 1.83203017e-02
1.82159125e-02 1.85876398e-02 1.90141078e-02 1.90459338e-02
1.96264395e-02 1.94252994e-02 1.95857022e-02 2.01343820e-02] 785522 1000000 100 0.6664559137449569 0.12503313559586676

Тук има картинка която дава линейна нарастваща зависимост между броя на радиуси и разстоянието от центъра. Но не мога да сложа картинката, защото има ограничение 3 картинки макс за пост.
Много интересно се получава, но какво означава това?

Средния радиус е: 0.6664559137449569
Средното частно обаче е: 0.12503313559586676

Ако се опитаме да изчислим частното което търсим със средния радиус:

$ \frac{1}{4}(1-x^2)= \frac{1}{4}(1-0.6664559137449569^2) =0.13895912875859362$

Но по-точната стойност е: 0.12503313559586676. Интересно защо. Трябва да помислим малко повече тук и да намерим аналитична формула.

[Гост]

peyo, integralchi neshtu tui-onui nema li?

[peyo]

Здравейте, може ли да ми помогнете с този изпит по Теория на вероятностите

Да решим задача 3, която се оказа много интересна и много трудна!

Да видим как изглеждат нарисувани двете разпределения:

Код: Избери целия код

from scipy.stats import norm
import numpy as np
x = np.arange(-100,350,0.1)
Y1 = norm.pdf(x,loc=90, scale=36)
Y2 = norm.pdf(x,loc=85, scale=25)
plt.plot(x,Y1)
plt.plot(x,Y2)
plt.show()


Figure_2prob.png (26.37 KiB) Прегледано 1219 пъти

Да видим каква част от площта е над 75?

Код: Избери целия код

from scipy.stats import norm
M1 = 1-norm(loc=90, scale=36).cdf(75)
M2 = 1-norm(loc=85, scale=25).cdf(75)

(0.6615388804893103, 0.6554217416103242, 0.006117138878986128)

Както виждаме, разликата между двете площи (те са също така вероятности) е много малка.

И сега вероятността първия детаил да е от първата машина и да е годен: [tex]P_{1g1}=\frac{51*0.6615388804893103}{102}= 0.3307694402446552[/tex]

Вероятността втория детаил да е от първата машина и да е годен: [tex]P_{2g1}=\frac{50*0.6615388804893103}{101}=0.3274944952917378[/tex]

И сега отговора на задачата ще намерим използвайки метода на средната вероятност с тежести:

[tex]О = \frac{P_{1g1}*P_{2g1}}{ \text{вероятността и двата детайли да са годни}}[/tex]

вероятността и двата детайли да са годни = (д1 годен и машина 1)*(д2 годен и машина 1) + (д1 годен и машина 1)*(д2 годен и машина 2) + (д1 годен и машина 2)*(д2 годен и машина 1) + (д1 годен и машина 2)*(д2 годен и машина 2) = 0.6615388804893103*(51/102)*0.6615388804893103*(50/101) + 0.6615388804893103*(51/102)*0.6554217416103242*(51/101) + 0.6615388804893103*(51/101)*0.6554217416103242*(51/102) + 0.6554217416103242*(51/102)*0.6554217416103242*(51/101) = 0.43572284949413276

[tex]О = \frac{P_{1g1}*P_{2g1}}{ \text{вероятността и двата детайли да са годни}} = (0.3307694402446552*0.3274944952917378)/0.43572284949413276[/tex]

$О = 0.24861025997745534 $

Да направим проверка със симулация:

Код: Избери целия код

from scipy.stats import norm
from random import randint
N = 1000000
S = 51
m,n=0,0
for i in range(N):
   M = [ [a,1] for a in norm.rvs(loc=90, scale=36, size=S)]
   M += [ [a,2] for a in norm.rvs(loc=85, scale=25, size=S)]
   i1 = randint(0,2*S-1)
   i2 = randint(0,2*S-1)
   while i1==i2:
      i2 = randint(0,2*S-1)
   d1,d2 = M[i1],M[i2]
   if d1[0] > 75 and d2[0] > 75 :
      m+=1
      if d1[1]==1 and d2[1]==1:
         n+=1
print(m,n,n/m)


433922 108680 0.2504597600490411

Една 1М симулация трае около 1 минута, затова е трудно да направим много по-голяма такава. Виждаме, че резултата не съвпада добре с теоретичния, което означава, че или теоретичния или симулирания резултат са грешни или и двата. Ще трябва да помислим повече. Аз лично повече вярвам на симулацията.

[peyo]

Здравейте, може ли да ми помогнете с този изпит по Теория на вероятностите

Да видим зад 1.

За 0 различни от 6 вероятността е:
$(1/6)^5*(1/6) = (1/6)^6 = $2.1433470507544573e-05
За 1 различни от 6 вероятността е:
$5*(1/6)^4(5/6)*(1/6) + (1/6)^5(5/6)(1/6) = 0.0005536979881115683$
За 2 различни от 6 вероятността е:
$(1/6)^3 * (5/6)^2 * ((5*4)/2) * (1/6) + (1/6)^4 * (5/6)^1 * 5 * (5/6) * (1/6) + (1/6)^5 * (5/6)^2 * (1/6) = 0.005819782616979119$
За 3 различни от 6 вероятността е:
...

Става доста по-сложно. Да решим задачата числово.

Код: Избери целия код

from random import randint
N = 10000000
Dy = {}
for i in range(N):
   A = []
   for k in range(5):
      A.append(randint(1,6))
   B = [randint(1,6)]
   while B[-1] != 6:
      B.append(randint(1,6))
   Y = 0
   for d in A + B:
      if d != 6:
         Y+=1
   if Y not in Dy:
      Dy[Y] = 0
   Dy[Y]+=1
x,y=[],[]
for k in range(100):
   v = Dy.get(k)
   if v:
      x.append(k)
      y.append(v/N)
print(x)
print(y)

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 85, 89]
[2.08e-05, 0.0005538, 0.0058317, 0.0316133, 0.0933183, 0.1449032, 0.1206042, 0.1004552, 0.0838258, 0.0697891, 0.0582392, 0.0484636, 0.0403907, 0.0336848, 0.0280293, 0.0234747, 0.0194568, 0.0162274, 0.0134858, 0.0112851, 0.0093282, 0.0078619, 0.0065343, 0.0054305, 0.0045433, 0.0037618, 0.0031609, 0.0026194, 0.0021807, 0.0018187, 0.001521, 0.0012589, 0.0010449, 0.0008912, 0.0007264, 0.0006116, 0.0005118, 0.0004303, 0.0003577, 0.0002902, 0.0002413, 0.0001963, 0.0001722, 0.000142, 0.000123, 9.43e-05, 8.37e-05, 6.7e-05, 5.82e-05, 4.65e-05, 3.81e-05, 3.37e-05, 2.94e-05, 2.29e-05, 1.96e-05, 1.42e-05, 1.3e-05, 1.06e-05, 1.04e-05, 7.8e-06, 6.1e-06, 6.4e-06, 5.6e-06, 3.8e-06, 2.9e-06, 3.1e-06, 2.1e-06, 1.8e-06, 1.7e-06, 8e-07, 6e-07, 1.3e-06, 1e-07, 8e-07, 1e-07, 6e-07, 3e-07, 2e-07, 1e-07, 2e-07, 1e-07, 2e-07, 1e-07, 1e-07, 2e-07]

Както виждаме теоретичните съвпадат много добре със симулираните.

Как изглежда pdf функцията?

Код: Избери целия код

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x,y)
plt.show()

Figure_probY12345.png (17.6 KiB) Прегледано 1195 пъти

И сега какво е средното и std-то?

Код: Избери целия код

import math
m,s=0,0
for x in Dy:
   m+=Dy[x]*x
   s+=Dy[x]*x**2
s = math.sqrt( (s-m**2/N)/N )
m = m/N
print(m,s)


9.1661912 5.539844121005803