Вероятности, които не успях да реша.

[Гост]

1.Намерете вероятността в едно шестцифрено число три цифри да са еднакви, а останалите са различни.

2.Намерете вероятността в едно осемцифрено число точно три цифри да са еднакви, а останалите са различни.

3.Намерете вероятността едно петцифрено число да има 2 четни цифри и 3 нечетни цифри, при условие че всички те са различни.

4.Осем жени и двама мъже застават на опашка в пекарната на случаен принцип. Каква е вероятността между мъжете да стоят две жени?

[peyo]

1.Намерете вероятността в едно шестцифрено число три цифри да са еднакви, а останалите са различни.

Всички 6 цифрени числа са от 100000 до 999999 или 999999-100000 +1=900000

Групата от 3 можем да сложим на 4 места. ззз123, 123ззз, 12ззз3, 1ззз23

Ако случая е ззз123, то това са 9 случая и имаме 9*8*7 за останалите позиции, или общо 9*9*8*7 = 4536

В останалите 3 случая 123ззз, 12ззз3, 1ззз23 групата от 3 е 10 случая.
Единия случай, когато з = 0, то останалите са 9*8*7 или 3*9*8*7 = 1512
Другите случаи, когато з = 1-9, то останалите са 8*8*7 или 3*9*8*8*7 = 12096

Или общо 4536+1512+12096 = 18144

$p = \frac {18144}{900000} = 0.02016$

Да направим проверка:

Код: Избери целия код

from collections import Counter
from itertools import product

n=0
for a in product(range(10), repeat=6):
   if a[0] == 0:
      continue
   C = Counter(a)
   s = "".join(str(i) for i in a)
   for d in range(10):
      if len(set(C.keys())) == 4 and f"{d}{d}{d}" in s and C[d]==3:
         n+=1
            
print(n)

18144

Найс!

[peyo]

4.Осем жени и двама мъже застават на опашка в пекарната на случаен принцип. Каква е вероятността между мъжете да стоят две жени?

Колко са всички случаи? Първо жените може да сложим на 8 позиции по 10*9*8*7*6*5*4*3/(8*7*6*5*4*3*2*1) = 45 начина. Останалите 2 мъжа нямат избор и застават в двете прази места, значи общо 45 начина на подреждане.

8 жени:
жжжжжжжж
Първия мъж можем да го сложим само на 7 позиции, втория на растояние 2 след първия можем да сложим да само една позиция или общо 7*1 = 7

Вероятността е:

$p = \frac{7}{45} = 0.15555555555555556$

Да направим проверка:

Код: Избери целия код

from itertools import permutations

S1,S2 = set(),set()
for p in permutations("жжжжжжжжмм"):
   p = "".join(p)
   S1.add(p)
   if "мжжм" in p:
      S2.add(p)
      #print(p)
print(len(S1),len(S2),len(S2)/len(S1))   


45 7 0.15555555555555556

Люкс гуд!

[peyo]

3.Намерете вероятността едно петцифрено число да има 2 четни цифри и 3 нечетни цифри, при условие че всички те са различни.

Всички 5 цифрени числа 9*10*10*10*10=90000

Нечетни цифри 5, четни 5.

Да предположим, че всички позиции са позволени включително и водеща 0. Тогава броя на случаите 2 четни и 3 нечетни е

In [77]: (5*4*3*5*4)*(5*4*3*2*1/(3*2*2))
Out[77]: 12000.0

Сега искаме да имаме водеща 0. Тогава броят на случаите е:

In [76]: 5*4*3*4*(4*3*2*1/(3*2))
Out[76]: 960.0

И броя на случаите които всъющност искаме да знаем, без водеща 0 е:
In [78]: 12000-960
Out[78]: 11040

Да проверим с програма!

Код: Избери целия код

from itertools import product

n=0
for a in product(range(10), repeat=5):
   if a[0] == 0:
      continue
   if len(set(a))!=5:
      continue
   if len([ i for i in a if i%2 ==0]) !=2:
      continue
   if len([ i for i in a if i%2 ==1]) !=3:
      continue
   n+=1
print(n)

11040

Вероятността която търсим е:

In [81]: 11040/90000
Out[81]: 0.12266666666666666

[peyo]

1.Намерете вероятността в едно шестцифрено число три цифри да са еднакви, а останалите са различни.

2.Намерете вероятността в едно осемцифрено число точно три цифри да са еднакви, а останалите са различни.

Задача 2 много прилича на 1, която е решена. Може би автора на темата ще я реши сам/а?!

[Гост]

1.Намерете вероятността в едно шестцифрено число три цифри да са еднакви, а останалите са различни.

Всички 6 цифрени числа са от 100000 до 999999 или 999999-100000 +1=900000

Групата от 3 можем да сложим на 4 места. ззз123, 123ззз, 12ззз3, 1ззз23

Ако случая е ззз123, то това са 9 случая и имаме 9*8*7 за останалите позиции, или общо 9*9*8*7 = 4536

В останалите 3 случая 123ззз, 12ззз3, 1ззз23 групата от 3 е 10 случая.
Единия случай, когато з = 0, то останалите са 9*8*7 или 3*9*8*7 = 1512
Другите случаи, когато з = 1-9, то останалите са 8*8*7 или 3*9*8*8*7 = 12096

Или общо 4536+1512+12096 = 18144

$p = \frac {18144}{900000} = 0.02016$

Да направим проверка:

Код: Избери целия код

from collections import Counter
from itertools import product

n=0
for a in product(range(10), repeat=6):
   if a[0] == 0:
      continue
   C = Counter(a)
   s = "".join(str(i) for i in a)
   for d in range(10):
      if len(set(C.keys())) == 4 and f"{d}{d}{d}" in s and C[d]==3:
         n+=1
            
print(n)

18144

Найс!

Благодаря ти много за помощта. Имам един въпрос. Казваш ,че имаме 4 места ззз123, 123ззз, 12ззз3, 1ззз23, но не може ли примерно да имаме и такъв вариант з12з3з или 1з2зз3 и такива подобни?

[Гост]

1.Намерете вероятността в едно шестцифрено число три цифри да са еднакви, а останалите са различни.

2.Намерете вероятността в едно осемцифрено число точно три цифри да са еднакви, а останалите са различни.

Задача 2 много прилича на 1, която е решена. Може би автора на темата ще я реши сам/а?!

Тоест общия брой на всички осемцифрени числа е 90000000. Вариантите 3 цифри да бъдат еднакви са ххх12345,12345ххх,1ххх2345,12ххх345,123ххх45,1234ххх5, нали? Ако случая е ххх12345 тогава имаме 9.вариация 10 от 5 (защото може да участва и нулата) тоест 9.10.9.8.7.6=272160. Но с останалите варианти не знам как да подходя.

[peyo]

[quote="Гост"1.Намерете вероятността в едно шестцифрено число три цифри да са еднакви, а останалите са различни.

2.Намерете вероятността в едно осемцифрено число точно три цифри да са еднакви, а останалите са различни.
/quote]

Задача 2 много прилича на 1, която е решена. Може би автора на темата ще я реши сам/а?![/quote]
Тоест общия брой на всички осемцифрени числа е 90000000. Вариантите 3 цифри да бъдат еднакви са ххх12345,12345ххх,1ххх2345,12ххх345,123ххх45,1234ххх5, нали? Ако случая е ххх12345 тогава имаме 9.вариация 10 от 5 (защото може да участва и нулата) тоест 9.10.9.8.7.6=272160. Но с останалите варианти не знам как да подходя.[/quote][/quote][/quote][/quote][/quote][/quote][/quote][/quote][/quote][/quote][/quote][/quote][/quote][/quote][/quote]

Всички 8 цифрени числа са от 10000000 до 99999999 или 99999999-10000000 +1=90,000,000

Групата от 3 можем да сложим на 6 места. 12345ззз, 1234ззз5, 123ззз45, 12ззз345, 1ззз2345, ззз12345.

Ако случая е ззз12345, то това са 9 (защото з не може да е 0) случая и имаме 9*8*7*6*5 за останалите позиции, или общо 9*9*8*7*6*5 = 136080

В останалите 5 случая групата от 3 е 10 случая.
Единия случай, когато з = 0, то останалите са 9*8*7*6*5 или 5*9*8*7*6*5 = 75600
Другите случаи, когато з = 1-9, то останалите са 8*8*7*6*5 или 5*9*8*8*7*6*5 = 604800

Или общо 136080+75600+604800= 816480

$p = \frac {816480}{90000000} = 0.009072$

Да направим проверка:

Код: Избери целия код

...да оставим проверката за домашно... а и сега областта на търсене е по-голяма и е малко по-трудно да се симулира бързо

???

Ексълънт резълт агеин!

[ERRRY]

Здравейте! Аз също се затрудних със следните задачки по Теория на вероятностите.
Мисля, че трябва да използвам геометрична вероятност, но не знам как. Ако някой може да помогне


Задача 1. В точка С, която може да е всяка по протежение на телефонната линия АВ с дължина 10 км с еднаква възможност, е налице прекъсване. Определете вероятността точка C да е отдалечена от точка А, където се намира ремонтната станция, на разстояние най-малко 1 км.
Задача 2. Две точки се избират случайно върху отсечката [-1, 2]. Каква е вероятността разстоянието между тях да е по-голямо от 1?
Задача 3. Два кораба трябва да акостират на едно и също място за акостиране. Времето на пристигане на двата кораба е случайно в рамките на дадено денонощие. Намерете вероятността нито един от корабите да не трябва да чака за освобождаване на стоянката, ако времето за акостиране на първия кораб е 1 час, а на втория кораб е 2 часа.

[peyo]

[
quote="Гост"1.Намерете вероятността в едно шестцифрено число три цифри да са еднакви, а останалите са различни.
/quote

Всички 6 цифрени числа са от 100000 до 999999 или 999999-100000 +1=900000

Групата от 3 можем да сложим на 4 места. ззз123, 123ззз, 12ззз3, 1ззз23

Благодаря ти много за помощта. Имам един въпрос. Казваш ,че имаме 4 места ззз123, 123ззз, 12ззз3, 1ззз23, но не може ли примерно да имаме и такъв вариант з12з3з или 1з2зз3 и такива подобни?

Ами да! В условието никъде не е казано, че еднаквите числа трябва да са едно до друго.

Ок, да решим тази задача сега.


Всички 6 цифрени числа са от 100000 до 999999 или 999999-100000 +1=900000

Групата от 3 еднакви можем да сложим на 6*5*4/(3*2*1) = 20 места.

Ако числото започва с 0 имаме 5*4/2 = 10 варианта, например зз1з23, то това са 9*10 възможности и имаме 9*8*7 за останалите позиции, или общо 9*10*9*8*7 = 45360

В останалите 20-10=10 позиции като 12зз3з:
Когато з = 0, то останалите са 9*8*7 или 10*9*8*7 = 5040
Другите случаи, когато з = 1-9, то останалите са 8*8*7 или 10*9*8*8*7 = 40320

Или общо 45360+5040+40320= 90720

[tex]p = \frac{90720}{900000} = 0.1008[/tex]


Да проверим:

Код: Избери целия код

from collections import Counter
from itertools import product

n=0
for a in product(range(10), repeat=6):
   if a[0] == 0:
      continue
   C = Counter(a)
   if len(set(C.keys())) != 4:
      continue
   for d in range(10):
      if C[d]==3:
         n+=1
            
print(n)

90720

Имаме точно съвпадение! Йей!

[peyo]

... Мисля, че трябва да използвам геометрична вероятност, но не знам как. Ако някой може да помогне

Задача 1. В точка С, която може да е всяка по протежение на телефонната линия АВ с дължина 10 км с еднаква възможност, е налице прекъсване. Определете вероятността точка C да е отдалечена от точка А, където се намира ремонтната станция, на разстояние най-малко 1 км.

Не съм чувал за геометрична вероятност, но зад. 1 е лесна:

За да е на разстояние по малко от 1 км, повредата трябва да е в участъка от 0 до 1 който е с дължина 1. Когато цялата дължина е 10, то повредата да се случи в участък с дължина 1 е [tex]\frac{1}{10}[/tex]

[peyo]

Задача 2. Две точки се избират случайно върху отсечката [-1, 2]. Каква е вероятността разстоянието между тях да е по-голямо от 1?

Да опростим задачата и разсъжденията като изместим отсечката да е от [0, 3]

Да нарисуваме 2-те точки с геогебра където първата е x, а втората е y.

tocjki2.png (137.37 KiB) Прегледано 1133 пъти

Искаме $|x-y|>1$

На картинката това са сините части от ABCD. Тяхното лице е общо 4, а цялото е 9. Тогава търсената вероятност е:

[tex]p=\frac{4}{9} = 0.4444444444444444[/tex]

Да направим проверка:

Код: Избери целия код

from random import random as rand

n,N=0,10000000

for i in range(N):
   a,b = 3*rand()-1,3*rand()-1
   if abs(a-b) >1:
      n+=1

print(n/N)

0.4444255

Найс!

[peyo]

Задача 3. Два кораба трябва да акостират на едно и също място за акостиране. Времето на пристигане на двата кораба е случайно в рамките на дадено денонощие. Намерете вероятността нито един от корабите да не трябва да чака за освобождаване на стоянката, ако времето за акостиране на първия кораб е 1 час, а на втория кораб е 2 часа.

Добре, подобен подход:

korabi2.png (180.92 KiB) Прегледано 1131 пъти

In [147]: (264.5+242)/576
Out[147]: 0.8793402777777778

Проверка:

Код: Избери целия код

from random import random as rand

n,N=0,10000000

for i in range(N):
   x,y = 24*rand(),24*rand()
   if x<y and y-x > 1:
      n+=1
   elif y<x and x-y > 2:
      n+=1

print(n/N)

0.879221

Уъркс!