Просто число

[Гост]

Изтегля се прозволен делител на числото A=2.[tex]3^{2 }[/tex].[tex]5^{3 }[/tex].7.
Каква е вероятността, то да е просто число?

Аз получих отговор [tex]\frac{1}{12}[/tex], но не съм сигурен, че е толкова и имам нужда от второ мнение.

[ammornil]

[tex]Т(А)= \{ \\ \hspace{4em} 1, \red{2}, \red{3}, \red{5}, 6, \red{7}, 9, 10, 14, 15, 18, 21, 25, 30, 35, 42, \\ \hspace{4em}45, 50, 63, 70, 75, 90, 105, 125, 126, 150, 175, 210, 225, 250, 315, 350, \\ \hspace{4em} 375, 450, 525, 630, 750, 875, 1050, 1125, 1575, 1750, 2250, 2625, 3150, 5250, 7875, 15750 \\ \hspace{3.5em} \} \\ len(T(A))=48 \\ P=\frac{4}{48}=\frac{1}{12}[/tex]
Ако приемем конвенцията, че 1 не е самопросто число.

[Genie_Almo]

Мисля, че не би било трудно да се реши задачата в общия ѝ вид. Предлагам да го направим, за да не се налага да разписваме всеки един частен случай, който се предлага като отделна задача във форума.

Формулирам задачата така.

Естественото число $K$ има следното представяне в каноничен вид:

$K=\prod_{i=0}^{n-1 }{p_i}^{q_i}$

Да се намери вероятността произволен делител на $K$ да е просто число.

[grav]

Мисля, че не би било трудно да се реши задачата в общия ѝ вид. Предлагам да го направим, за да не се налага да разписваме всеки един частен случай, който се предлага като отделна задача във форума.

Формулирам задачата така.

Естественото число $K$ има следното представяне в каноничен вид:

$K=\prod_{i=0}^{n-1 }{p_i}^{q_i}$

Да се намери вероятността произволен делител на $K$ да е просто число.

[tex]P = \frac{n}{(q_0+1)(q_1+1)\dots(q_{n-1}+1)}[/tex]

[Гост]

Мисля, че не би било трудно да се реши задачата в общия ѝ вид. Предлагам да го направим, за да не се налага да разписваме всеки един частен случай, който се предлага като отделна задача във форума.

Формулирам задачата така.

Естественото число $K$ има следното представяне в каноничен вид:

$K=\prod_{i=0}^{n-1 }{p_i}^{q_i}$

Да се намери вероятността произволен делител на $K$ да е просто число.

[tex]P = \frac{n}{(q_0+1)(q_1+1)\dots(q_{n-1}+1)}[/tex]

Как достигнахте до този отговор (който наистина си работи), може ли малко обосновка или насоки за доказателство?

[pipi langstrump]

Как достигнахте до този отговор (който наистина си работи), може ли малко обосновка или насоки за доказателство?

https://mathschallenge.net/library/numb ... f_divisors

[grav]

Как достигнахте до този отговор (който наистина си работи), може ли малко обосновка или насоки за доказателство?

Всеки делител на

[tex]K=\prod_{i=0}^{n-1 }{p_i}^{q_i}[/tex]

има вида

[tex]d=\prod_{i=0}^{n-1 }{p_i}^{n_i}[/tex]

където

[tex]0\le n_i\le q_i[/tex] (това са [tex]q_i+1[/tex] възможности)

общо [tex](q_0+1)(q_1+1)\dots(q_{n-1}+1)[/tex] възможности.