Студенти на изпит

[fairytale]

Задача:
10 студенти отиват на изпит. Листчетата,на които са написани въпросите са също 10 на брой. Всички студенти искат да им се падне втори въпрос. Имали значение начина на теглене на листчетата? Имат ли всички равен шанс (т.е. еднаква ли е вероятността първият да изтегли втори въпрос и петия например или последния) ?

[1089]

da

[fairytale]

А някакво решение с формули ще може ли ?

[L.e.o]

fairytale,
Каква е вер. 1вия да изтегли този въпрос? 1/10
Каква е вер. 2рия да го направи? Първо, като е теглил 1вия то НЕ трябва да изтегли този въпрос. Вер. за това е 9/10. Идва ред на 2рия. Останали са 9 въпроса. Вер. той да изтегли сега точно този въпроса е 1/9 . Тоест, вер. 2рия да изтегли този въпрос е : 9/10 * 1/9 = 1/10
За 3тия ще имаш: вер. 1вия да НЕ изтегли * вер. 2рия да НЕ изтегли * вер. 3тия да изтегли = 9/10 * 8/9 * 1/8 = 1/10
Когато дойде ред на 10тия да тегли, ако въпроса не е бил изтеглен, то вер. той да го изтегли ще е 100%, но пък за да се осигури тази верояност преди нея са се случили девет други случайни изтегления.
Всеки неуспех на предишния, покачва шанса за успех на следващият.

Нека разгледаме друга задача:
10 човека играят на зар. Печели този който хвръли първи шестица, като 10мата хврърлят един след друг. Каква е вер. всеки един от тях да спечели?
1вия: 1/6
2рия: да не спечели 1вия * да спечели 2рия = 5/6 * 1/6 = 5/36
3тия: да не спечели 1вия * да не спечели 2рия * да спечели 3тия = 5/6 * 5/6 *1/6 = 25/216
В тази задача, за разлика от горната, вер. за успех на се увеличава след всеки "провал" на предишен участник. Горната задача би била подобна ако след като изтегли въпроса студента след това да го върне в купчината преди следващия да тегли. Тогава все следващ ще има по-малък шанс за успех.

Дано са ти станали ясни примерите.

[inveidar]

За задачата с въпросите. Нека подредим номерата на въпросите, които са изтеглили студентите в редичка. На първо място - въпросът на първия изтеглил, на второ място - въпросът на втория изтеглил и така до десетия. Получаваме редица от числата 1,2,3,...,10, които са по реда на изтеглянето. Сега е ясно, че всички възможности са пермутации от десет елемента. Благоприятните случаи първият да изтегли въпрос номер две са всички редици от десетте числа, в които 2 е на първо място, т.е пермутации от девет елемента(останалите числа могат да се разместват както си искат!). Благоприятните случаи вторият студент да изтегли втория въпрос пак са толкова, защото това са редиците от десетте числа, при които числото 2 е на второ място и те отново са пермутации от девет елемента. И така за останалите. А вероятността е [tex]P=\frac{9!}{10! }=\frac{1}{10 }[/tex].

[inveidar]

В тази задача, за разлика от горната, вер. за успех на се увеличава след всеки "провал" на предишен участник. Горната задача би била подобна ако след като изтегли въпроса студента след това да го върне в купчината преди следващия да тегли. Тогава все следващ ще има по-малък шанс за успех.

И каква е тогава вероятността на всеки от студентите за изтегляне на въпрос номер 2?

[L.e.o]

9/10 *1/10 = 9/100

[inveidar]

[L.e.o]

Опа. Това е вер. студент номер 2 да изтегли въпроса.
Ако студентите теглят въпроси без да ги връщат: всички имат шанс 1/10 да изтеглят въпроса.
Ако студентите теглят въпроси и след това ги връщат в купчината, вер. първи да изтегли въпроса е:
1/10 за 1вия студен, 9/100 за 2рия, 81/1000 за 3тия ,етц (примера със зарчето е много по-ясен)