Еволюта и еволвента

[ferry2]

Нека С* е геометричното място на центровете на оскулачните окръжности на неравнинна крива с постоянна ненулева кривина. Да се докаже, че кривината на С* е константа и да се пресметне торзията на С*. (Кривата С* се нарича еволюта на С, а С – еволвента на С*.)
Ако може да ми дадете насоки относно задачата, ще ви бъда много благодарен!

[martin.nikolov]

Доста стара тема, но сега я видях.

Нека [tex]x(s)[/tex] е векторното уравнение на [tex]C[/tex] относно естествения параметър. Тогава от дефиницията на еволюта, всяка точка се намира на разстояние едно върху кривината на [tex]C[/tex] по посока на нормалния вектор от съответната точка на оригиналната крива. Следователно уравнението на еволютата е [tex]e(s)=x(s)+\frac1\kappa N(s).[/tex] От тук и формулите на Френе могат да се пресметнат кривината и торзиата. Кривината се получава, че е същата като на оригиналната крива и следователно е коснстанта, торизята я получавам [tex]\frac{\kappa^2}{\tau}[/tex], но може и да съм сбъркал. За кривина може и без сметки да се съобрази като се има предвид, че еволютата на еволютата е ориганалната крива.

[seppen]

Защо можем да решим, че е представена, относно естествения параметър и да ползваме формулите на Френе? Винаги ли една крива може да се представи, относно естествения си параметър?

[martin.nikolov]

Защо можем да решим, че е представена, относно естествения параметър и да ползваме формулите на Френе? Винаги ли една крива може да се представи, относно естествения си параметър?

Да, винаги може да се използва естествения параметър.

[seppen]

Значи не е нужно да уточняваме, че е измерима? (от това, че съществува кривина=>диференцируема=>измерима)

[martin.nikolov]

Значи не е нужно да уточняваме, че е измерима? (от това, че съществува кривина=>диференцируема=>измерима)

Не разбрах. Кой е уточнявал, че е измерима? И какво е измерима?

[seppen]

Преглеждах си записките по Анализ и оттам ми дойде дали това [tex]s(u)=\int |r^.| du[/tex] винаги може да се сметне. Та затова написах дали не трябва да се спемене нещо.
Благодаря за разясненията.

[martin.nikolov]

Преглеждах си записките по Анализ и оттам ми дойде дали това [tex]s(u)=\int |r^.| du[/tex] винаги може да се сметне. Та затова написах дали не трябва да се спемене нещо.
Благодаря за разясненията.

Не е нужно да се смята. Теоремата за обратната функция гарантира, че може да раглеждаме u като функция на s, независимо дали можем да я сметнем явно.

[n0_m0r3_pa1n]

Аз мисля, че бъркам сметките. За торзията не ми се получават, иначе отговорът е такъв.. ако може малка помощ. Мисля, че може би не изчислявам правилно векторното произведение на [tex]r^\circ[/tex] и [tex]r^\circ ^\circ[/tex]