диференциална геометрия

[dimad]

Може ли някой да помогне с алгоритъм за задачата:

Дадена е правилна равнинна крива с : х = х (s), отнесена спрямо естествения си параметър s. От произволна точка М от с по бинормалата на с в отрицателна посока е нанесена отсечка МР с дължина s. Когато М описва кривата с, точката Р описва кривата с''. Да се изразят скаларните и векторните инварианти на с'' чрез инвариантите на с. Да се докаже, че с'' е обща витлова линия.

Предварително благодаря!

[Гост]

Ехооо, има ли някой, плс?

[grav]

Директни сметки. Какво те затруднява?

[Anubis]

Както знаеш, във всяка точка от линията [tex]c: \, r(x(s); \, y(s); \, z(s))[/tex] е дефиниран ортонормиран репер на Френе

с оси [tex]t[/tex] (тангента), [tex]n[/tex] (нормала) и [tex]b[/tex] (бинормала) и център точка от кривата. Както в стандартната

координатна система една точка се представя с тройката координати [tex](x; \, y; \, z)[/tex], така една точка ще се

представя с координатите [tex](t; \, n; \, b)[/tex] в триедъра на Френе. Записите [tex]a\vec{x}+b\vec{y}+c\vec{z}[/tex] и [tex](a; \, b; \, c)[/tex] са

еквивалентни и означават едно и също нещо — точката с координати [tex](a; \, b; \, c)[/tex]. По аналогичен начин от

единия запис можем да преминаваме в другия при триедъра на Френе.

За да решиш задачата, трябва да използваш трите формули на Френе:

[tex]t' = -\kappa n, \quad n' = -\kappa t + \tau b, \quad b' = -\tau n[/tex].

Кривата [tex]\overline{c}[/tex] ще се задава с векторното уравнение [tex]\overline{c}: \, \overline{x} = x(s) - bs[/tex], защото:

— [tex]x(s)[/tex] показва, че отсечката минава през точка от линията [tex]c[/tex];

— минусът сочи, че обхождането на отсечката се извършва в отрицателна посока;

— [tex]b[/tex] означава, че отсечката е колинеарна с бинормалата на кривата [tex]c[/tex].

В задачата ще използваме, че ако една линия е равнинна, то нейната торзия [tex]\tau[/tex] е равна на нула.

[tex]\overline{x}' = x'(s)-(b's+b) = t-(-\tau n \cdot s + b) = t + \tau n s - b = t - b = (1; \, 0; \, -1) \Rightarrow |\overline{x}'| = \sqrt{2}[/tex]

[tex]\overline{x}'' = t' - b' = \kappa n + \tau n = \kappa n = (0; \, \kappa; \, 0)[/tex]

[tex]\overline{x}''' = \kappa' n + \kappa n' = \kappa' n + \kappa (-\kappa t + \tau b) = \kappa' n - \kappa^2 t[/tex]

Векторните инварианти на линията са векторите, колинеарни на осите от триедъра на Френе (тангента,

бинормала и нормала). Скаларните инварианти са торзията и кривината.

[tex]\overline{t} = \frac{\overline{x}'}{|\overline{x}'|} = \frac{(1; \, 0; \, -1)}{\sqrt{2}} = \left ( \frac{1}{\sqrt{2}}; \, 0; \, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right )[/tex]

[tex]\overline{n} = \frac{\overline{x}''}{|\overline{x}''|} = \frac{(0; \, k; \, 0)}{k} = (0; \, 1; \, 0)[/tex]

[tex]\overline{b} = \overline{t} \times \overline{n} = \left ( \frac{1}{\sqrt{2}}; \, 0; \, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right ) \times (0; \, 1; \, 0) = \left ( \frac{1}{\sqrt{2}}; \, 0; \, \frac{1}{\sqrt{2}} \right )[/tex]

[tex]\overline{\kappa} = \frac{|\overline{x}' \times \overline{x}''|}{\sqrt{\overline{x}'^3}} = \frac{\kappa \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\kappa}{2}[/tex]

[tex]\overline{\tau} = \frac{\overline{x}' \overline{x}'' \overline{x}'''}{\overline{\kappa}^2} = -4\kappa[/tex]

Понеже [tex]\frac{\overline{\kappa}}{\overline{\tau}} = \operatorname{const}[/tex], линията [tex]\overline{c}[/tex] е обща витлова линия.

[Гост]

Много ти благодаря, наистина! Като се опитвах да го реша ми изглеждаше невъзможно, а сега така вече е смилаемо...

Ако можеш да ми помогнеш и със следната задача:

Нека с е поне 4-кратно гладка правилна крива. Да се докаже, че ако тя притежава едно от следните 3 свойства, то тя притежава и останалите 2 свойства:

1) допирателната в произволна точка сключва постоянен ъгъл с постоянно направление.
2) бинормалата сключва постоянен ъгъл с постоянно направление.
3) главните нормали на с са компланарни с постоянна равнина.

Ето какво не ми е ясно:

1 => 3)
Нека усл. 1 е вярно, т.е. |m|=1, m - постоянно направление.
mt = cosv, v = const (това следва от mt = |m||t|cosv |m|=1, |t|=1 ли?)

диференцираме:
mt′ = 0 (предполагам от mt′ + m′t = cosv′; m, cosv = const ?)

kmn = 0 (от Френе)
ако к = 0, то кривата не е правилна? => к [tex]\ne[/tex] 0
mn = 0 => m[tex]\bot[/tex] n => усл. 3 e вярно

=> 2)
mn′ = 0
m[tex]\bot[/tex] n => m = [tex]\alpha[/tex]t + [tex]\beta[/tex]b ?! /.t) /.b)
mt = [tex]\alpha[/tex]
mt = cosv
=> cosv = [tex]\alpha[/tex]
[tex]\beta[/tex] = [tex]\pm[/tex]sinv
mb = [tex]\pm[/tex]sinv => 3 e вярно

Мерси !

[Гост]

Здравей,

имам един въпрос по решението на задачата:
Понеже s е естествен параметър, тангентата на с'' не е ли равна само на производната на х' (без да се включва дължината |x''|')?

[Гост]

.... и по същата причина k =|x''| ?

[Гост]

x^{y}moje li da mi pomognete za zadacata
1) namerete edinicnite vektori ot triedira na Frene T,N,B
A) c:c(q)=(q,q^{2} ,e^{q} v tocka M(q=0);
B)c:c(q)=(3 cosq ,3 sinq ,2q).v tocka M( q=[tex]\frac{\pi}{4}[/tex]
Blagodarq predvaritelno!