Задачи по диференциална геометрия

[CapricoRne89]

Здравейте,

Може ли някой да помогне с решението на някои от 4 задачи в прикачения файл? Благодаря предварително за помоща.

[Добромир Глухаров]

1 Зад.: $c(t)=(x(t),y(t));\ x(t)=(a+b)(t-sint),\ y(t)=(a+b)(1-cost)$

$\kappa=\frac{\dot{x}\ddot{y}-\ddot{x}\dot{y}}{({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)^{\frac{3}{2}}}$

$\dot{x}(t)=(a+b)(1-cost)$
$\ddot{x}(t)=(a+b)sint$
$\dot{y}(t)=(a+b)sint$
$\ddot{y}(t)=(a+b)cost$

$\kappa(t)=\frac{(a+b)(1-cost)(a+b)cost-(a+b)sint(a+b)sint}{((a+b)^2(1-cost)^2+(a+b)^2sin^2t)^{\frac{3}{2}}}$

$\kappa(t)=\frac{(a+b)^2}{(a+b)^3}\cdot\frac{cost-cos^2t-sin^2t}{(1-2cost+cos^2t+sin^2t)^{\frac{3}{2}}}$

$\kappa(t)=\frac{1}{a+b}\cdot\frac{cost-1}{2^{\frac{3}{2}}(1-cost)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{2}(a+b)}\cdot\frac{-1}{\sqrt{1-cost}}$

$\kappa(t)=-\frac{1}{2\sqrt{2}(a+b)\sqrt{1-cost}}$

$\kappa(3)=-\frac{1}{2\sqrt{2}(a+b)\sqrt{1-cos3}}\approx-\frac{0,250627826}{a+b}$

Остава да заместите $a$ и $b$ с равните им.