Уравнение на крива

[Гост]

Намерете кривата, която минава през началото на координатната система и е перпендикулярна на правата, минаваща през точката (3;4) и коя да е точка от кривaта

[grav]

Okrujnost.

[peyo]

Намерете кривата, която минава през началото на координатната система и е перпендикулярна на правата, минаваща през точката (3;4) и коя да е точка от кривaта

Мого интересна задача!

Търсената крива е $F(x,y)=0$

Ноормалноте вектори във всяка точка са частните производни:

$\left( \frac{\delta F}{\delta x}, \frac{\delta F}{\delta y} \right)$

Търсим права $L$ която минава през точка (3,4) и е успоредна на нормалните вектори образувани от частните производни. А когато права е успоредна на нещо то $\Delta x $ и $\Delta y $ ще са пропорционални на компонентите на този вектор:

$\left( \frac{\delta F}{\delta x}, \frac{\delta F}{\delta y} \right) = \left( k \Delta x, k \Delta y \right) $

Тук можем да образуваме система от диференциални уравнения. Excellent!:

$\frac{\delta F}{\delta x} = k(x-3)$
$\frac{\delta F}{\delta y} = k(y-4) $

$\delta F = k(x-3) \delta x$
$\delta F = k(y-4) \delta y$

Събираме и интегрираме всяко

$2 \int \delta F = k \left( \int (x-3) \delta x + \int (y-4) \delta y \right) $


$F = k/2 \left( \frac{x^{2}}{2} - 3 x + \frac{y^{2}}{2} - 4 y + C\right) $

Тук има някакво k/2 което колко е? Функцията F Има смисъл само когато F=0. Тогава от:
$ k/2 \left( \frac{x^{2}}{2} - 3 x + \frac{y^{2}}{2} - 4 y + C\right) =0$

Следва k няма значение и става:

$ \frac{x^{2}}{2} - 3 x + \frac{y^{2}}{2} - 4 y + C = 0 $

Сега обаче колко е C? Знаем, че F минава през (0,0), значи:

$ \frac{0^{2}}{2} - 0 + \frac{0^{2}}{2} - 0 + C = 0 $

Следва C = 0 и резултата става:

$F = \frac{x^{2}}{2} - 3 x + \frac{y^{2}}{2} - 4 y$

С което задачата е решена.

Но :

Okrujnost.

Горното наистина с нещо ни напомня за окръжност. Да видим:

$F = (1/2)(x^{2} - 6 x + 9 - 9 + y^{2} - 8 y +16 - 16)$

$F = (x - 3)^{2} + (y - 4^{2}) - 5^2$

Което наистина е окръжност с център точката и радиус 5!

[grav]

Ноормалноте вектори във всяка точка са частните производни:

$ \frac{\delta F}{\delta x}$

\partial vmesto \delta

[tex]\frac{\partial F}{\partial x}[/tex]