Радиус на кривина и нормала

[Гост]

За дадена равнинна крива е известно, че радиусът на кривината й в коя да е нейна точка P е равен на дължината на частта от нормалата от P до абсцисната ос. Кои видове криви удовлетворяват това условие?

[grav]

Okrujnosti s tsentur vurhu abtsisata.

[peyo]

За дадена равнинна крива е известно, че радиусът на кривината й в коя да е нейна точка P е равен на дължината на частта от нормалата от P до абсцисната ос. Кои видове криви удовлетворяват това условие?

Много интересно! Да направим разследване и да се опитаме да намерим тези криви!

Търсената крива e F(x,y).

Нормалните вектори във всяка точка са частните производни:

$\left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y} \right)$ или $\left( F_x, F_y \right)$

Имаме права $L$ която минава през точка (x,y) и е успоредна на нормалните вектори образувани от частните производни и пресича правата $y=0$. Разстоянието от (x,y) до пресечената точка $d = r = 1/k$ където $k$ е кривината:

$k = \frac{|F_y^2 F_{xx} - 2 F_x F_y F_{xy} + F_ x^2 F_{yy} |}{(F_x^2+ F_y^2)^\frac 3 2}$

Уравнението на правата ако е $L = Au+Bv +C$, а уравнението на правата w параметричен вид е:
$u = x+ F_x t$
$v = y+ F_y t$

$(u - x)/ F_x = t$
$(v - y)/ F_y = t$

$(u - x)/ F_x - (v - y)/ F_y = 0$

$F_y(u - x) - F_x(v - y) = 0$

$F_y u - F_y x - F_x v + F_x y = 0$

И така правата във вид L e:
$F_y u - F_x v + F_x y - F_y x= 0$

Координатите на пресечената точка са
$u = \frac{F_y x- F_x y }{F_y } = x - (\frac{ F_x }{F_y })^2 y $
$v=0$,

Дължината на отсечката става:

$d^2 = (x- (x - (\frac{ F_x }{F_y })^2 y ) )^2 + y^2 = ( (\frac{ F_x }{F_y })^2 y )^2 + y^2 = y^2((\frac{ F_x }{F_y })^2 +1)$

И сега можем да съставим уравнението:

$y^2((\frac{ F_x }{F_y })^2 +1)= \frac{ (F_x^2+ F_y^2)^3} { (F_y^2 F_{xx} - 2 F_x F_y F_{xy} + F_ x^2 F_{yy})^2 }$

Което e малко вероятно да успеем да го решим в този вид, но можем да кажем, че крива която удовлетворява това уравнение е отговор на задачата.

Okrujnosti s tsentur vurhu abtsisata.

Добре, можем да използваме нашата формула да проверим твърдението на grav:

In [269]: F = (x-5)**2 + y**2 -2
...:
...: F_x = diff(F,x)
...: F_y = diff(F,y)
...: F_xy = diff(F,x,y)
...: F_xx = diff(F,x,x)
...: F_yy = diff(F,y,y)
...:
...: simplify(((y**2*((F_x/F_y)**2 +1) * (F_y**2 * F_xx - 2 * F_x * F_y * F_xy + F_x**2
...: * F_yy)**2 - ( (F_x**2+ F_y**2)**3))))
Out[269]: 0

Ok, окръжност върху X е решение.

Дали е възможно да има друга крива която е решение?!

[Гост]

верижки

[peyo]

верижки

Много окръжности например долепени една до друга върху X? Много хитро, това може да е решение! Не се сещам за аналитична формула на такава верижа да сложим в диференциалното уравнение за проверка.

Но това пак е окръжност. Аз се чудя дали нама някаква хипербола например която е решение също?!

[Гост]

вeрижка е cosh (catenary)

[peyo]

вeрижка е cosh (catenary)

Ok. Да проверим:

In [323]: F = y - cosh(x)
...:
...: F_x = diff(F,x)
...: F_y = diff(F,y)
...: F_xy = diff(F,x,y)
...: F_xx = diff(F,x,x)
...: F_yy = diff(F,y,y)
...: F_x,F_y,F_xy,F_xx,F_yy
...:
...:
...: print(latex((y**2*((F_x/F_y)**2 +1) * (F_y**2 * F_xx - 2 * F_x * F_y * F_xy + F_x*
...: *2 * F_yy)**2 - ( (F_x**2+ F_y**2)**3))))

$y^{2} \left(\sinh^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cosh^{2}{\left(x \right)} - \left(\sinh^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{3}$

Хм... Не е 0. Но тук $ y = cosh(x)$. Да земестим и да видим:

In [326]: simplify( (y**2*(sinh(x)**2 + 1)*cosh(x)**2 - (sinh(x)**2 + 1)**3).subs(y, cosh(x))
...: )
Out[326]: 0

Много добре! Верижка също е решение. Какво още?

[peyo]

вeрижка е cosh (catenary)

Много добре! Верижка също е решение. Какво още?

Навързани верижки една за друга:

$F = y - cosh(asin(sin(x)))$

Проверка:

In [28]: F = y - cosh(asin(sin(x)))
...:
...: F_x = diff(F,x)
...: F_y = diff(F,y)
...: F_xy = diff(F,x,y)
...: F_xx = diff(F,x,x)
...: F_yy = diff(F,y,y)
...: F_x,F_y,F_xy,F_xx,F_yy
...:
...: simplify((y**2*((F_x/F_y)**2 +1) * (F_y**2 * F_xx - 2 * F_x * F_y * F_xy + F_x**2 *
...: F_yy)**2 - ( (F_x**2+ F_y**2)**3))).subs(y, cosh(asin(sin(x))) )
Out[28]: 0

Картинка:

multver23242.png (19.52 KiB) Прегледано 1334 пъти

Нещо подобно можем да направим с октъжности или полуокръжности сигурно.