Нехомогенно ОДУ

[Гост]

Здравейте! Бихте ли ми помогнали с едно ДУ?
[tex]y"-4y'+3y=e^x+cosx[/tex]
Затруднявам се с намирането на частното решение. Благодаря на всички отзовали се.

[Xixibg]

[tex]y=e^x-\frac{1}{5}sin x+\frac{1}{10}cos x[/tex]

[Гост]

Благодаря за отговора, но не ми е ясно как става.

[Anubis]

[tex]y''-4y'+3y = e^x + \cos x[/tex]

Първо се решава хомогенното уравнение.

[tex]y''-4y'+3y=0 \Rightarrow \lambda^{2}-4\lambda+3=0 \Rightarrow \lambda_{1,2} = \frac{4 \pm 2}{2} = 2 \pm 1 \Rightarrow \lambda_{1}=3, \, \lambda_{2}=1[/tex]

[tex]y_{\operatorname{hom.}}(x) = \operatorname{c}_{1}e^{3x}+\operatorname{c}_{2}e^x[/tex] е неговото решение.

Едно частно решение на хомогенното уравнение ще бъде [tex]y_{\operatorname{partial}}(x) = \operatorname{c}_{1}(x)e^{3x}+\operatorname{c}_{2}(x)e^x[/tex].

Неизвестните функции [tex]\operatorname{c}_{1}(x), \, \operatorname{c}_{2}(x)[/tex] се намират по метода на Лагранж за вариране на

константите.

[tex]\begin{array}{||} \operatorname{c}_{1}'(x) e^{3x} + \operatorname{c}_{2}'(x)e^{x} = 0 \\ \operatorname{c}_{1}'(x) \left ( e^{3x} \right )' + \operatorname{c}_{2}'(x) \left ( e^{x} \right )' = e^{x} + \cos x \end{array}[/tex]

Общото решение на нехомогенното обикновено диференциално уравнение е

[tex]y(x) = y_{\operatorname{hom.}}(x) + y_{\operatorname{partial}}(x)[/tex].

Ако имаш някакви проблеми, пиши.

[Гост]

Xixibg, това, което си дал за нещастие не е частно решение.

[Гост]

Анубис, много ти благодаря за отзивчивостта. И аз така го решавам, но после като интегрирам, за да намеря [tex]C_2[/tex],опирам до интеграла
[tex]C_2(x)=\int_{}^{ } \frac{e^x+cosx}{2e^{3x} } dx[/tex]

[Гост]

Всъщност този интеграл ме затруднява..Или може би бъркам някъде?

[Anubis]

[tex]\begin{array}{||} \operatorname{c}_{1}'(x)e^{3x} + \operatorname{c_{2}}'(x)e^{x} = 0 \\ 3\operatorname{c}_{1}'(x)e^{3x}+\operatorname{c}_{2}'(x)e^{x} = e^{x} + \cos x \end{array}[/tex]

От второто уравнение изваждаме първото.

[tex]2 \operatorname{c}_{1}'(x) e^{3x} = e^x + \cos x \Rightarrow \operatorname{c}_{1}'(x) = \frac{e^x + \cos x}{2e^{3x}} \Rightarrow \operatorname{c}_{1}(x) = \int \frac{e^x + \cos x}{2 e^{3x}} \operatorname{d}x = \frac{1}{2} \int \left ( \frac{1}{e^{2x}} + \frac{\cos x}{e^{3x}} \right ) \operatorname{d}x[/tex]

[tex]1. \quad \int e^{-2x} \operatorname{d}x = -\frac{1}{2} \int e^{-2x} \operatorname{d}(-2x) = -\frac{1}{2} e^{-2x}[/tex]

[tex]2. \quad \int e^{-3x} \cos x \operatorname{d}x = \int e^{-3x} \operatorname{d} (\sin x) = e^{-3x} \sin x + 3 \int \sin x e^{-3x} \operatorname{d}x = e^{-3x} \sin x + 3\int e^{-3x} \operatorname{d} (- \cos x) =[/tex]

[tex]= e^{-3x} \sin x + 3 \left [ -e^{-3x} \cos x - \int - \cos x.(-3).e^{-3x} \operatorname{d}x \right ] = e^{-3x} \sin x + 3 \left [ -e^{-3x} \cos x - 3 \int e^{-3x} \cos x \operatorname{d}x \right ][/tex]

[tex]\Rightarrow \fbox{\int e^{-3x} \cos x \operatorname{d}x} = e^{-3x} \sin x - 3 e^{-3x} \cos x - \fbox{9 \int e^{-3x} \cos x \operatorname{d}x} \Rightarrow 10 \int e^{-3x} \cos x \operatorname{d}x = e^{-3x} \sin x - 3 e^{-3x} \cos x \Rightarrow[/tex]

[tex]\int e^{-3x} \cos x \operatorname{d}x = \frac{e^{-3x} \left ( \sin x - 3 \cos x \right )}{10}[/tex]

[tex]\Rightarrow \fbox{\operatorname{c}_{1}(x) = \frac{1}{2} \left [ -\frac{1}{2}e^{-2x} + \frac{e^{-3x} \left ( \sin x - 3 \cos x \right )}{10} \right ]}[/tex]

Сега намираме другата функция.

[tex]\operatorname{c}_{2}'(x) = -\operatorname{c}_{1}'(x)e^{2x} = -\frac{e^{x}+\cos x}{2e^{x}} \Rightarrow \operatorname{c}_{2}(x) = -\frac{1}{2} \int \frac{e^{x}+\cos x}{e^{x}} \operatorname{d}x = -\frac{1}{2} \left ( \int \operatorname{d}x + \int e^{-x} \cos x \operatorname{d}x \right )[/tex]

Правим абсолютно същата сметка, както по-горе. Така

[tex]\fbox{\operatorname{c}_{2}(x) = -\frac{1}{2} \left [ x + \frac{e^{-x} \left ( \sin x - \cos x \right )}{2} \right ]}[/tex].

Частното решение е

[tex]y(x) = y_{\operatorname{partial}}(x) = \operatorname{c}_{1}(x)e^{3x}+\operatorname{c}_{2}(x)e^{x} = -\frac{1}{4}e^{x}(1+2x) -\frac{1}{5} \sin x + \frac{1}{10} \cos x[/tex].

Ако нещо те затруднява, пиши, да не ти пука, .

[Гост]

Анубис, много ти благодаря! АЗ при интегрирането по части съм оплескала един знак и една константа... Резил, но вече изпуших от тези ДУ... Пак и отново 10х:)

[Anubis]

[pipi langstrump]

Безсмислено е да се ползва лагранж за толкова характерна нехомогенна част. Нищо чудно, че си изпушила.
Частното решение ще се търси като сума на две частни решения - едното на y"-4y'+3y=e^x и другото на y"-4y'+3y=cosx

За първото, понеже 1 е еднократна нула на полинома [tex]\lambda^2 - 4\lambda + 3[/tex], то частното решение ще има вида [tex]\eta_1 = Cxe^x[/tex], където константата С се определя като се замести в уравнението.
За второто, понеже i не е корен на характеристичния полином, решението ще има вида [tex]\eta_2 = A cos x + B sin x[/tex], А и В се определят след заместване в уравнението.