Две задачи - диференциални уравнения

[monika_at]

1)Дадено е уравнението [tex]y^{'''}+4y'=0[/tex].
Определете реда му и го сведете до уравнение от втори ред. Напишете характеристичния полином на полученото уравнение и намерете корените му.

2)Дадена е системата [tex]x'=-4x-y+5 ; y'=-y+1[/tex]

Намерете нейните особени точки, класифицирайте ги и посочете устойчивите в смисъл на Ляпунов.

По 1) предполагам, че за да го сведа до уравнение от втори ред, трябва да интегрирам?

По 2) нищо не ми е ясно. Ще се радвам някой да ми помогне.

[Anubis]

Уравнението е линейно хомогенно с постоянни коефициенти. За да го сведеш до такова от втори ред,

полагаш [tex]y'=z[/tex], така получаваш новото уравнение [tex]z''+4z=0[/tex]. Характеристичното уравнение тогава ще

бъде [tex]\lambda^2 + 4 = 0[/tex].

Особените точки се получават, като се реши системата от десните части, приравнени на нула, т. е.

[tex]\begin{array}{||} -4x-y+5=0 \\ -y+1=0 \end{array}[/tex].

Получаваш [tex]y = 1, \quad x =1[/tex]. Особената точка е [tex](1; \, 1)[/tex].

Намираш Якобиана на матрицата от десните страни. Матрицата е

[tex]\left ( \begin{array} -4 \quad -1 \\ 0 \quad \quad \quad -1 \end{array} \right )[/tex]

(диференцираш всеки ред първо по едната променлива, после по другата). В получената матрица

заместваш координатите на особените точки, колкото и да са на брой. Понеже при нас в матрицата не

участват никъде променливите, матрицата не се променя. На така определената матрица намираш всичките

собствени числа и ако измежду тях има поне едно положително, точките са точки на неустойчивост. Ако има

само неположителни, са устойчиви.

[monika_at]

Anubis, изключително съм ти благодарна за великолепното обяснение.

Само да попитам още нещо. Собствените числа[tex]\lambda_i[/tex] са корени на детерминантата[tex]det{\lambda E-A}[/tex], където А е матрицата, нали така?

[Гост]

Да, значи ще решаваш уравнението

[tex](-4-\lambda)(-1-\lambda)+1.0=0 \Rightarrow (\lambda+4)(\lambda+1)=0[/tex].

Когато получиш само отрицателни собствени стойности, т. е. няма нула никъде, точките са асимптотически

устойчиви.

[monika_at]

И аз така получих. Благодаря:)

[Гост]

а бихте ли ми помогнали и на мен със следните задачи