Ойлерово диференцилно уравнение

[Consigliere-]

[tex]x^{2} y'' + xy' + y = 2sin(2lnx)[/tex]
След полагане стигам до тук
[tex]r^{2} + 1 = 0
r_{1} = i , r_{2}= -i[/tex]
И сега от къде идва
[tex]y_{1} (t) = cost , y_{2} = sint[/tex]
Има някакво правило ,което не знам,ако може да помогнете и в следващата стъпка ще е супер.

[Vulev]

При решаването на характеристичното уравнение:
1) Ако корените са реални, получаваме частни решения от вида [tex]e^{rt}[/tex]. Съответно, ако има кратни решения, пред експонентата се слагат степени на t.
2) Ако решенията са комплексни числа, то те са по двойки комплексно-спрегнати [tex]\alpha \pm i\beta[/tex]. Тогава на тези две решения съответстват частни решения [tex]e^{\alpha t}cos\beta t[/tex] и [tex]e^{\alpha t}sin\beta t[/tex].
Ние сме в случай 2) и [tex]\alpha =0;\beta =1[/tex].

Тъй като нашето уравнение не е хомогенно (дясната част е 2sin2t) трябва да приложим метода на Лагранж за вариране на константите. Общото решение ще е от вида [tex]y(t)=C_{1}(t)y_{1}(t)+C_{2}(t)y_{2}(t)[/tex], където [tex]y_{1}(t)=cost[/tex] и [tex]y_{2}(t)=sint[/tex].
Разгледай стр. 6, глава 5 тук: http://pharmfac.net/social_pharm_lectur ... 4_ODE1.pdf
Системата лесно се решава с умножение на уравненията по sint, cost и събиране/изваждане на уравненията като се използва [tex]sin^{2}t+cos^{2}(t)=1[/tex]. В тази задача се използва, че [tex]sin2t=2sintcost[/tex] и се вкарва sint или cost под знака на диференциала.
Аз получавам: [tex]C_{1}(t)=-\frac{4}{3} cos^{3}t+K_{1}[/tex] и [tex]C_{2}(t)=\frac{4}{3} sin^{3}t+K_{2}[/tex]. Замества се в общото решение и не забравяме да преминем към променлива х с t=lnx.

[Consigliere-]

Разбрах го ! Благодаря,че има хора като теб ,много добре го обясни !