Частна втора производна (x+y^2)e^x

[Гост]

Имам проблем с един израз. Знам как се изчислява частна производна на даден израз, но винаги съм срещал проблеми с "e", т.е неперовото число, което е с особени свойства, които ме объркват. Моля някой да помогне с посоченото уравнение, за да разбера принципа на работа в този случай

ex.png (2.64 KiB) Прегледано 1350 пъти

.

[Добромир Глухаров]

[tex]z=(x+y^2)e^x[/tex]

[tex](e^x)'_x=e^x;\ (e^x)'_y=0[/tex], понеже [tex]e^x[/tex] зависи от [tex]x[/tex] и не зависи от [tex]y[/tex].

[tex]z'_x=(x+y^2)'_xe^x+(x+y^2)(e^x)'_x=(1+0)e^x+(x+y^2)e^x=(1+x+y^2)e^x[/tex]

[tex]z'_y=(x+y^2)'_ye^x+(x+y^2)(e^x)'_y=(0+2y)e^x+(x+y^2).0=2ye^x[/tex]

[tex]z''_{xx}=(z'_x)'_x=(1+x+y^2)'_xe^x+(1+x+y^2)(e^x)'_x=(0+1+0)e^x+(1+x+y^2)e^x=(2+x+y^2)e^x[/tex]

[tex]z''_{yy}=(z'_y)'_y=(2y)'_ye^x+2y(e^x)'_y=2e^x+2y.0=2e^x[/tex]

[tex]z''_{xy}=(z'_x)'_y=(1+x+y^2)'_ye^x+(1+x+y^2)(e^x)'_y=(0+0+2y)e^x+(1+x+y^2).0=2ye^x[/tex]

[tex]z''_{yx}=(z'_y)'_x=(2y)'_xe^x+2y(e^x)'_x=0.e^x+2ye^x=2ye^x[/tex]

[tex]\Rightarrow\ z''_{xy}=z''_{yx}[/tex], което следва и от това, че частните производни са непрекъснати, съгласно Теорема.

[Гост]

Благодаря!