Диференциални уравнения

[Mathfan]

Здравейте. В момента самостоятелно изучавам диференциалните уравнения. Чета от онлайн лекций качени в страниците на университетите. При решаването се водя от решените примерни задачи, но останаха две задачи, чийто тип не е решен в лекцийте.
Това са

3y''-3y'+2y=e^x
3y(^2)y'+y^3+x=0

Знам, че това са възможно най-лесните примери от типовете задачи, сигурно за това нямаше подобни решени.
Някой ще може ли да помогне с решението?
Благодаря с предварително.

[kucheto]

[tex]3y''-3y'+2y=e^x[/tex]
Това е линейно нехомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. Решава се, като му се намерят общото и частното решение и се съберат. Общото решение е решение на хомогенното уравнение [tex]3y''-3y'+2y=0.[/tex] Неговото характеристично уравнение е [tex]3\lambda^2-3\lambda+2=0[/tex], което има корени [tex]\lambda_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\frac{i\sqrt{15}}{6},[/tex] откъдето решението е [tex]e^{\frac{1}{2}x}\left[c_1cos(\frac{\sqrt{15}}{6}x)+c_2sin(\frac{\sqrt{15}}{6}x)\right][/tex]. Намирането на частното решение става, като "предположим", че то е от вида [tex]ce^x[/tex] (предполагаме точно този вид, тъй като е от същия като дясната част, а и производните на [tex]ce^x[/tex] са от същия вид) и получаваме: [tex]e^x=3(ce^x)''-3(ce^x)'+2ce^x=3ce^x-3ce^x+2ce^x=2ce^x\Rightarrow c=\frac{1}{2}.[/tex] Оттук получаваме и общия вид на решението: [tex]y=e^{\frac{1}{2}x}\left[c_1cos(\frac{\sqrt{15}}{6}x)+c_2sin(\frac{\sqrt{15}}{6}x)\right]+\frac{1}{2}e^x.[/tex]


[tex]3y^2y'+y^3+x=0[/tex]
Делиш на [tex]3y^2[/tex] и записваш уравнението във вида [tex]y'+\frac{1}{3}y+\frac{x}{3}y^{-2}=0.[/tex] Това е Бернулиево диференциално уравнение за [tex]n=-2,[/tex] което се решава като положим [tex]u=y^{1-n}=y^3[/tex], откъдето получаваме уравнението [tex]u'+u=-x,[/tex] което е линейно и се решава с формулата за линейни диференциални уравнения от вида [tex]u'+p(x)u=q(x):\ u=e^{-\int p(x) dx}\left[C+\int q(x)e^{\int p(x) dx} dx\right][/tex], като в нашия случай [tex]p(x)=1,\ q(x)=-x\Rightarrow u=Ce^{-x}-x+1=y^3,[/tex] което е и решението в неявен вид (естествено, като вземеш корен кубичен получаваш една реална функция за решение, но и двете комплексни функции също вършат работа) на даденото уравнение. Разбира се, можеше и да решим уравнението [tex]u'+u=-x[/tex] и по метода, използван в първата задача, като общото решение е [tex]Ce^{-x}[/tex], а за частното предполагаме, че е от вида [tex]ax+b[/tex], а след приравняване ще получим [tex]a=-1,\ b=1\Rightarrow u=Ce^{-x}-x+1,[/tex] което е като горното.

[Mathfan]

Много благодаря

[Mathfan]

Само да попитам, ако пред [tex]e^x[/tex] има число напр. 2, като уравнението изглежда така [tex]3y''-3y'+2y=2e^x[/tex], по същият начин ли се решава??
Напр. ce^x, ще стане [tex]5e^x[/tex] при заместването тук [tex]3( ce^x)-3( ce^x)+2( ce^x)=2e^x[/tex]

[Knowledge Greedy]

Горе има някакъв коефициент [tex]c[/tex] пред [tex]e^x[/tex]... и той ще "погълне" твоята [tex]2[/tex]

[X_EXPERT]

12.png (6.75 KiB) Прегледано 1153 пъти

Ще може ли да помогнете ?

[MENKA]

Прикачения файл 12.png вече е недостъпен

Ще може ли да помогнете ?

ДУ

[Knowledge Greedy]

1. [tex]y'=\frac{y}{x}+e^{\frac{y}{x}}[/tex]
Това е ОДУ с разделящи се променливи, въпреки че от условието не се вижда пряко.
Естествено е да положим [tex]\frac{y}{x}=t[/tex]
Диференцираме [tex]y=tx[/tex]
[tex]y'=t'x+t[/tex]
Заместваме в даденото
[tex]t'x+t=t+e^t[/tex]
И сега разделяме променливите, преминавайки към диференциален запис
[tex]\frac{dt}{dx }x=e^t[/tex]
Полученото [tex]\frac{dt}{e^{t}}=\frac{dx}{x}[/tex] интегрираме
[tex]\int \frac{dt}{e^{t}}=\int \frac{dx}{x}[/tex]
При наличие на логаритъм добавъчната константа може да се вкара като множител
[tex]e^{-t}=Cln|x|[/tex]
Логаритмуваме
[tex]t=-ln(Cln|x|)[/tex]
и правим обратното полагане [tex]y=-xln(Cln|x|)[/tex]

п.п. Както сега забелязах, бързата колежка MENka e предложила същото решение и същия отговор за тази задача, но в неявен вид.

[MENKA]

Да,точно така,в неявен вид съм го решила.Но:
1.ДУ е хомогенно,а после след заместването на у/х става с отделящи се променливи и се решава като такова.
2.За локалните екстремуми-мисля,че има грешка в условието на питащия,но иначе решението Ви не го оспорвам-да,това е механизма за намиране на локални екстремумина функция с 2 променливи.