ДУ

[monika_at]

Колеги, никак ме няма в ДУ:) Бихте ли ми помогнали, за една задача?

Дадено е уравнението [tex]y^{'''}+3y^{''}+y'+3y=3[/tex]; [tex]y'(0)=-1; y^{''}(0)=2[/tex]

Сведете тази задача до задача на Коши за нормална система от първи ред, с постоянни коефициенти.

Нещо ми бяга, в решението.

[Anubis]

За да сведеш това уравнение до нормална система, трябва да направиш следните субституции:

[tex]y = y_{1}, \quad y' = y_{2}, \quad y'' = y_{3}[/tex].

Винаги започваш от нулевата производна и въвеждаш нови функции, докато стигнеш до [tex]n-1[/tex]-вата производна.

[tex]\begin{array}{||} y = y_{1} \\ y' = y_{2} \end{array} \Rightarrow \begin{array}{||} y' = y_{1}' \\ y' = y_{2} \end{array} \Rightarrow \fbox{y_{1}' = y_{2}}[/tex]

[tex]\begin{array}{||} y' = y_{2} \\ y'' = y_{3} \end{array} \Rightarrow \begin{array}{||} y'' = y_{2}' \\ y'' = y_{3} \end{array} \Rightarrow \fbox{y_{2}' = y_{3}}[/tex]

[tex]y'' = y_{3} \Rightarrow y''' = y_{3}'[/tex], но [tex]y'''[/tex] го намираме от диференциалното уравнение.

[tex]y''' = -3y'' - y' - 3 y + 3 \Rightarrow \fbox{y_{3}' = -3 y_{3} - y_{2} - 3 y_{1} + 3}[/tex]

Понеже уравнението е от 3-ти ред, трябва да имаш три начални условия. Едно липсва.

Идеята е следната. Чрез субституцията получаваш система от [tex]n[/tex] (в случая 3) уравнения само от първи ред. В лявата страна на всяко от тях стои съответната производна, а отдясно са изрази на новите функции, т. е.

[tex]y_{k}' = f(x; \, y_{1}; \, y_{2}; \, \dots)[/tex].

Всяко от началните условия се асоциира със съответното ОДУ от първи ред, така че решението на системата се определя еднозначно.

[pal702004]

Аз съм ги позабравил тези. Малко теория и примери на подобен вид ДУ има тук:
http://www.math.psu.edu/tseng/class/Math251/Notes-HigherOrderLinEq.pdf
Решаваме уравнението [tex]y'''+3y''+y'+3y=0[/tex]. И като добавим на общото решение свободен член +1, ще получим общото решение на нашето уравнение. В края на краищата се свежда до намиране на корените на уравнението
[tex]r^3+3r^2+r+3=0[/tex]
[tex](r+3)(r^2+1)=0[/tex]
С корени [tex]-3,i,-i[/tex]

Значи общото решение на ДУ има вид:
[tex]y=c_3 e^{-3 x}+c_2 \sin(x)+c_1 \cos(x)+1[/tex]

Директна проверка:
[tex]y'=-3 c_3 e^{-3 x}+c_2 \cos(x)-c_1\sin(x)[/tex]

[tex]y''=9 c_3 e^{-3 x}-c_2 \sin(x)-c_1\cos(x)[/tex]

[tex]y'''=-27 c_3 e^{-3 x}-c_2 cos(x)+c_1 sin(x)[/tex]

Като се поставят в уравнението всичко в лявата част, освен свободият член 3 се съкращава.
Наистина, началните условия са 2, а параметрите 3.
[tex]y'(0)=-3c_3+c_2=-1[/tex]
[tex]y''(0)=9c_3-c_1=2[/tex]
Можем да изразим двата чрез третият:
[tex]c_2=3c_3-1,c_1=9c_3-2[/tex]

[monika_at]

Много благодаря на всички.

[X_EXPERT]

12.png (6.75 KiB) Прегледано 483 пъти

Ще може ли и на мен да ми помогнете ?