Диференциал на f(x)

[Ilian_955]

Дадена е функцията f(x)=100(x - [tex]\frac{4}{x2}[/tex]) (x2 - двойката е квадрат). Намерете диференциала на f(x). Пресметнете този диференциал при x=2 и dx=0.01 и изтълкувайте полученото число.

[mp3]

[tex]d f(x) =f^{/}. dx[/tex]
[tex]f^{/} = 100(x^{/}-4.(x^{-2})^{/})[/tex]
[tex]f^{/} = 100(1-4.(-2).x^{-2-1})[/tex]
[tex]f^{/} = 100(1+\frac{8}{ x^{3}})[/tex]

[Knowledge Greedy]

По определение диференциал на независимата променлива [tex]dx=\Delta x[/tex] - съвпада с нарастването на аргумента.
Зависимата променлива или функцията има диференциал ( както е написал и mp3),
съгласно равенството.

[tex]df(x)=f'(x)dx[/tex]

[tex]f(x)=100\left ( x - \frac{4}{x^2} \right )[/tex]

[tex]f'(x)=100\left ( \frac{8}{x^3} + 1 \right )[/tex]

Следователно [tex]df(x)=100\left ( \frac{8}{x^3} + 1 \right )dx[/tex]

След заместване с [tex]x=2[/tex] и [tex]dx=0,01[/tex]

[tex]df(2)=2[/tex]

Диференциалът на функцията.PNG (9.27 KiB) Прегледано 779 пъти

Как да тълкуваме полученото число? Какво представлява всъщност диференциалът на функцията?
Отговорът е - това е главната част на нарастването на функцията в конкретната точка.

Диференциалът на функцията 2.PNG (8.38 KiB) Прегледано 779 пъти

Диференциалът представлява локално свойство. Да разгледаме нарастването [tex]\Delta f(2)[/tex] при [tex]\Delta x=0,01[/tex]
[tex]\Delta f(2)=f(2,01)-f(2)=100\left ( 2,01 - \frac{4}{2,01^2} \right )-100\left ( 2 - \frac{4}{2^2} \right ) =2+100\left (1- \frac{4}{2,01^2} \right )\approx2,9925[/tex]
- за разлика от [tex]df(2)=2[/tex].
Съвсем естествено е [tex]\lim_{\Delta x \to 0} \Delta f(2)=df(2)[/tex]

--------------------
Да не се смесват наклонената асимптота (построена за красота) на първата графика с наклонената синя права, която е допирателна към графиката на функцията в точката [tex](2; \,\ 200)[/tex].
Както се вижда, диференциалът представлява големината на срещулежащия катет в правоъгълния триъгълник с хипотенуза допирателната и основа - нарастването на аргумента, докато [tex]\Delta f(2[/tex]) и [tex]\Delta x=0,01[/tex] са катетите на криволинейния (жълтия) триъгълник, "хипотенуза" на който е дъгата от графиката, отговаряща на избраното нарастване на аргумента.
-------------------

На практика използването на диференциалите прескача досадното боравене с границите, защото както [tex]\lim_{ dx \to 0} \Delta f(x)=df(x)[/tex], така и [tex]f'(x)=\frac{df(x)}{dx}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Точката, в която е построена допирателната очевидно е [tex](2; \,\ 100)[/tex] srry

--------------- ...наклонената синя права (на чертеж 2), която е допирателна към графиката на функцията в точката [tex](2; \,\ 100)[/tex]...