Въпрос

[Malthael]

Имаме уравнение от следния тип:
[tex]\nabla^{2}\psi(r)=-k^{2}\psi(r)[/tex] , където [tex]\psi(r)[/tex] е крайна функция, разглеждаме сфера в чиито център [tex]\psi(r)[/tex] заема своята максимална стойност и по радиуса намялава до достигане на 0.
Във сферични координати би трябвало да има уравнението следния вид:
[tex]\frac{1}{r^{2}} \frac{d}{ d r} (r^{2} \frac {d \psi(r)}{ d r}) =-k^{2}\psi(r) \rightarrow \psi"(r)+\frac{2}{r}\psi'(r)+k^{2}\psi(r)=0[/tex] , което има решение:
[tex]\psi(r)=\frac{C_{1}e^{ikr}}{r} +i \frac{C_{2}e^{-ikr}}{2kr}[/tex]
Само, че решението, което е представено е :

[tex]\psi(r)=\frac{C_{1}cos(kr)}{r}+\frac{C_{2}sin(kr)}{r}[/tex] Въпроса ми е това вярно ли е, тъй като имам затруднения при достигането на подобен тригонометричен вид.

[pipi langstrump]

Пред второто събираемо няма смисъл от тези множители-константи, защото С2 е произволна константа. Решението е

C1exp(ikr)/r + C2exp(-ikr)/r

Оттук с формулите на ойлер имаме
C1(cos(kr) + isin(kr)) + C2(cos(kr) - isin(kr)) = (C1+C2)cos(kr) + i(C1-C2)sin(kr) = C1cos(kr) + C2sin(kr), където последните C1 и C2 са различни от предишните, но понеже това са произволни и независими константи няма смисъл да ги означаваме с различни букви.

[Malthael]

К При всички положения е реално положително число, мерси много ..