задачи по диференциални уравнения

[lilito_92]

някой може ли да ми помогне с тези задачи
1) y''+y=sinx
2) y'' - 2y'+y=3sinx
3) y"-y'-2y= 3e^x

[mp3]

[tex]y^{//}+y= sin x[/tex]
Уравнението е линейно нехомогенно.
Първо решаваме харектеристичното уравнение, което съотватсва на хомогенното ДУ.
[tex]\lambda^{2}+1=0[/tex]
[tex]\lambda^{2}=-1[/tex]
[tex]\lambda_{1,2} =\pm i[/tex].

Една фундаментална система от решения се дава от cos x, sin x, а общото решение на хомогенното ДУ е:
[tex]y(X)= C_{1}. cos x + C_{2} . sin x[/tex]

Сега трябва да се намери едно частно решение на нехомогенното уравнение.
Тъй като дясната страна има вида [tex]sin x = e^{0. x }.[0. cos 1x + 1 .sin 1 x][/tex] и 0+1.i = i е еднократен корен на характеристичното уравнение, то частното решентие се търси във вида:
[tex]s(x) = x^{1}.e^{0. x }.[P_{0}(x). cos 1 x + Q_{0}(x) .sin 1 x][/tex], където P и Q са полиноми от нулева степен, т.е са константи.
[tex]s(x)=x.[a. cos x + b .sin x][/tex]

Диференцираме s(x) и заместваме в даденото ДУ, за да намерим стойностите на коефициентие.
[tex]a=-\frac{1}{ 2}[/tex]
[tex]b=0[/tex].

Следователно, частното решение има вида [tex]s(x)=-\frac{1}{ 2}.x. cos x[/tex], а общото решение е:
[tex]y(X)= C_{1}. cos x + C_{2} . sin x -\frac{1}{ 2}.x. cos x[/tex]