Особенни и инфлекси точки на задача на Коши на Matlab

[lamptz]

Здравейте, опитвам се да реша една задача, свързана със ЗК. Успях да сведа задачата до еквивалентна на Коши за нормална система, като положих следното:
[tex]y{_1} = y, y{_2} = y'[/tex] .
Като получих следната система:
[tex]\begin{array}{|l} y'{_1} = y{_2} \\ y''{_2} = y'{^2}{_1}y{_2} + 4y{_1} \\ y{_1}(0) = 0 \\ y{_2}(0) = -1 \end{array}[/tex]
Получих особенна точка [tex](0, 0)[/tex]. Но съм дотук! Не мога да направя останалите условия. Всяка помощ ще ми бъде от полза!

[lamptz]

Извинявам се, искам да направя само една лека корекция на системата...
[tex]\begin{array}{|l} y_{1 }'= y_{2 } \\
y_{2 }'= y^{2}_{1 } y_{2 } + 4y_{1 }\\
y_{1 }(0)=0\\
y_{2 }(0)=-1 \end{array}[/tex]

[Гост]

Здравей! Ти сигурно си ми колега от ФМИ. И аз мъча г/д същата задача. И аз съм стигнала до където и ти. Нещо ново измислил ли си / открил ли си по нея? Ще съм ти много благодарна, ако ми помогнеш.

[Anubis]

Файл-функция за пресмятане на десните страни на уравненията: func.m

Код: Избери целия код

function res = func(x, y)
res = [y(2);
    y(1)^2 .* y(2) + 4 .* y(1)];
end


Файл-функция за пресмятане на особените точки: rSide.m

Код: Избери целия код

function res = rSide(y)
res = [y(2);
    y(1).^2 .* y(2) + 4 .* y(1)];
end


Скрипт за числено решаване на нормалната система: solut.m

Код: Избери целия код

clear all
%===================================
% РЕШАВА ЧИСЛЕНО СИСТЕМАТА ОТ ОДУ
%===================================
[x,y] = ode45(@func, [0,1], [0;-1]);
%===================================
% ЧЕРТЕЖ НА ГРАФИКАТА НА y(x)
%===================================
plot(x,y(:,1),'g','LineWidth',3)
hold on
grid on
%===================================
% ЧЕРТЕЖ НА ГРАФИКАТА НА y'(x)
%===================================
plot(x,y(:,2),'m--','LineWidth',3)
set(gca,'FontName','Times','FontSize',11)
xlabel('$$ Ox $$','interpreter','latex')
ylabel('$$ Oy $$','interpreter','latex')
title('$$ y'''' = y^2 y'' + 4y, \quad y(0)=0, \quad y''(0)=-1 $$',...
    'interpreter','latex')
%===================================
% НАМИРА ОСОБЕНИТЕ ТОЧКИ НА СИСТЕМАТА
%===================================
sol = fsolve(@rSide, [0,0]);
%===================================
% ИЗОБРАЗЯВАНЕ НА ОСОБЕНИТЕ ТОЧКИ
%===================================
display('Особените точки са: '), sol
plot(sol(1), sol(2), 'o', 'MarkerEdgeColor', 'k', ...
    'MarkerFaceColor', [0.49, 1, 0.63], ...
    'MarkerSize', 10)
legend('\it{y(x)}','\it{y''(x)}','\it{Особени точки}')


Особената точка на системата е [tex](0; \, 0)[/tex]. Тя е неустойчива точка, защото се получават собствени числа [tex]\pm 2[/tex]. Изследването за инфлексия проведете сами.

[lamptz]

За да на направим изводите за особените точки и тяхната класификация, трябва да сметнем Якобиана на матрицата:
[tex]{0-\lambda \choose 2y{_1}y{_2}+4} { 1 \choose y{_1}{^2}-\lambda}[/tex]
Поради незнание и липса на ясно означена математическа документация в математически сайт, си представете, че това е една матрица 2х2
Поради което получаваме уравнение, което приравнено на 0 трудно би дало някакви резултати. Би ли ни упътил в дебрите на ОДУ-то?
П.С. МНООООООООГО БЛАГОДАРЯ ЗА ПОСТА!

[Гост]

Еее супер! А може ли да погледнеш и моята задача, ще сън много благодарна

[Гост]

Еее супер! А може ли да погледнеш и моята задача, ще сън много благодарна

Дадена е зад. на Коши y''=(y^2-3)y'-2y, y(1)=0, y'(1)=-1 , където y=y(t).

a/ Сведете я до еквивалентна зад. на Коши за норм. система. Намерете особените точки, изследвайте ги относно устойчивост и асимптотична устойчивост и ги класифицирайте.

б/ С вграден числен метод на MATLAB намерете приближено решение на зад. на Коши за норм. система. В провоъгълника П= {(x,y) : -1<=x<=3 , -6<=y<=2 } начертайте със син цвят графиката на компонентата му, която дава решение на зад. на Коши за уравнението. На същия чертеж начертайте със зелен пунктир другата компонента на решението на задачата на Коши за нормална система.