ОДУ от 1-ви ред

[Гост]

1. (2x+y)dx - (x-y)dy=0
2.(2x+3y-5)dx - (x+y-2)dy=0
3.(3x-2y+2)dx - (2x+y+5)dy=0

Благодаря предварително, ако някой се отзове с подробни решения

[Knowledge Greedy]

1.)
[tex](2x+y)dx - (x-y)dy=0[/tex]
[tex]\frac{dy}{dx}=\frac{2x+y}{x-y}[/tex]
Полагаме
[tex]y=zx[/tex]
(защото дясната страна е с хомогенни числител и знаменател - от първи ред, спрямо [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex])
А производната [tex]y'[/tex] ще заместим с [tex]y'=z'x+z[/tex].

[tex]\frac{dy}{dx}=\frac{2x+zx}{x-zx}[/tex]
[tex]y'=\frac{2+z}{1-z}[/tex]

[tex]z'x+z=\frac{2+z}{1-z}[/tex]
[tex]x \frac{dz}{dx}=\frac{2+z}{1-z}-z[/tex]

Получи се ОДУ с разделени променливи [tex]\frac{1-z}{2+z^2}dz=\frac{dx}{x}[/tex]
Интегрирането дава
[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}arctg \frac{z}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}ln(2+z^2)=lnx+C_1[/tex]

След обратното полагане [tex]z=\frac{y}{x}[/tex]
[tex]C_2 \sqrt{2}arctg \frac{y}{x \sqrt{2}}=2ln\sqrt{2x^2+y^2}[/tex]

[tex]2x^2+y^2=e^{Carctg \frac{y}{x \sqrt{2}}}[/tex]
Това е отговорът при [tex]y \ne x[/tex]

Следващите две ОДУ трябва да се доведат до подобен вид, за да бъдат приведени към ОДУ с разделящи се променливи.
2.)
[tex](2x+3y-5)dx - (x+y-2)dy=0[/tex]
Решаваме системата [tex]\begin{array}{|l} 2x_0 + 3y_0 -5 = 0 \\ x_0 + y_0 -2 = 0 \end{array}[/tex]
Явно [tex]\begin{array}{|l} x_0 = 1 \\ y_0 = 1 \end{array}[/tex]
Извършваме трансформацията
[tex]\begin{array}{|l} x = X+1 \\ y = Y+1 \end{array}[/tex]
Явно
[tex]\begin{array}{|l} dx = dX \\ dy = dY \end{array}[/tex]
и уравнението добива вида
[tex](2X+3Y)dX-(X+Y)dY=0[/tex]
Оттук
[tex]\frac{dY}{dX}=\frac{2X+3Y}{X+Y}[/tex] - с хомогенни числител и знаменател, и историята се повтаря - с полагането [tex]Y=zX[/tex]
А именно
[tex]Y'=\frac{2+3z}{1+z}[/tex]

Но [tex]Y'=z'X+z[/tex], следователно [tex]z'X+z=\frac{2+3z}{1+z}[/tex]
Следва разделяне на променливите
[tex]z'X=\frac{2+2z-z^2}{1+z}[/tex]
и остава да интегрираме
[tex]\frac{1+z}{2+2z-z^2}dz=\frac{dX}{X}[/tex]
и накрая да върнем полагането
[tex]z=\frac{Y}{X}[/tex],
респективно
[tex]z=\frac{y-1}{x-1}[/tex]
...