Диференциални уравнения

[Добромир Глухаров]

$x^2yy''=(xy'-y)^2=x^2y'^2-2xyy'+y^2$

$x^2\cdot\frac{y''}{y}=x^2\left(\frac{y'}{y}\right)^2-2x\cdot\frac{y'}{y}+1\ (1)$

$\left(\frac{y'}{y}\right)'=\frac{y''y-y'^2}{y^2}=\frac{y''}{y}-\left(\frac{y'}{y}\right)^2$

$z=\frac{y'}{y}\Rightarrow z'=\frac{y''}{y}-z^2$

$\Rightarrow(1)\Leftrightarrow x^2(z'+z^2)=x^2z^2-2xz+1$

$x^2z'+2xz-1=0$

Получихме уравнението от първи ред $z'=\left(-\frac{2}{x}\right)z+\frac{1}{x^2}$ с решение $z=\frac{1}{x}+\frac{C}{x^2}$

$\frac{y'}{y}=\frac{1}{x}+\frac{C}{x^2}$

$lny=lnx-\frac{C}{x}$

$y=\frac{x}{e^{\frac{C}{x}}}=\frac{x}{\sqrt[x]{C_1}}$