Диференциално уравнение с преобразование на Лаплас

[Гост]

Добър ден. Можете ли да ми помогнете със следната задача:

С преобразование на Лаплас да се реши диференциалното уравнение:

y''+3y'+2y=6; y'(0)=0, y(0)=0

[Добромир Глухаров]

Намираме образите на двете страни на уравнението и ги приравняваме:

$L(y''+3y'+2y)=L(6)$

$L(y'')+L(3y')+L(2y)=L(6)$

$L(y'')+3L(y')+2L(y)=6L(1)\ (1)$

За образите на основните видове функции има таблици. От тях:

$L(1)=\frac{1}{p}$

$L(y)=\bar{y}(p)$

$L(y')=p\bar{y}(p)-y(0)=p\bar{y}(p)$

$L(y'')=p^2.\bar{y}(p)-py(0)-y'(0)=p^2\bar{y}(p)$

$(1)\Leftrightarrow p^2\bar{y}(p)+3p\bar{y}(p)+2\bar{y}(p)=\frac{6}{p}$

$\bar{y}(p)=\frac{6}{p(p^2+3p+2)}=\frac{6}{p(p+1)(p+2)}=\frac{A}{p}+\frac{B}{p+1}+\frac{C}{p+2}$

$6=A(p+1)(p+2)+Bp(p+2)+Cp(p+1)$

$p=0\Rightarrow6=A(0+1)(0+2)+B.0.(0+2)+C.0.(0+1)=2A\Rightarrow A=3$
$p=-1\Rightarrow6=A(-1+1)(-1+2)+B.(-1).(-1+2)+C.(-1).(-1+1)=-B\Rightarrow B=-6$
$p=-2\Rightarrow6=A(-2+1)(-2+2)+B.(-2).(-2+2)+C.(-2).(-2+1)=2C\Rightarrow C=3$

$\bar{y}(p)=\frac{3}{p}-\frac{6}{p+1}+\frac{3}{p+2}$

Намерихме образа на $y$ и го разложихме на елементарни дроби, остава да намерим оригинала. За целта използваме, че $L(e^{\alpha t})=\frac{1}{p-\alpha}$

$L^{-1}(\bar{y}(p))=3L^{-1}\left(\frac{1}{p}\right)-6L^{-1}\left(\frac{1}{p+1}\right)+3L^{-1}\left(\frac{1}{p+2}\right)$

$y(t)=3.e^{0.t}-6.e^{-1.t}+3.e^{-2.t}=3-6.e^{-t}+3.e^{-2t}$

[Sup3rlum]

ЕДИТ: Явно сме писали едновременно



Дифернциалните уравнения с Лаплас трансформиции нямат никаква философия.
Трябва ти една таблица:

laplace-table-1-638.jpg (86.58 KiB) Прегледано 2365 пъти

Прилагаш я върху у-нието:

$\mathcal{L} \{y''+3y'+2y=6\}$
$s^2Y-sy(0)-y'(0)+3(sY-y(0))+2Y=\frac{6}{s}$

Заместваш началните стойности (които в този случай са просто нула):

$s^2Y+3sY+2Y=\frac{6}{s}$

Извеждаш $Y$ пред скоби и преобразуваш:

$Y(s^2+3s+2)=\frac{6}{s}$
$Y=\frac{6}{s(s^2+3s+2)}$
$Y=\frac{6}{s(s+1)(s+2)}$

Тази дроб се разделя на три части:

$Y=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2}$

За коефицентите $A,B,C$:

$A(s+1)(s+2)+Bs(s+2)+Cs(s+1)=6$
$A(s^2+3s+2)+B(s^2+2s)+C(s^2+s)=6$

От тук приравняване:

$A+B+C=0$
$3A+2B+C=0$
$2A=6$

$\Rightarrow A=3$
$B+C=-3$
$2B+C=-9$
$\Rightarrow B=-6$
$\Rightarrow C=3$

Слагаме обратно коефицентите и използваме обратна Лаплас Трансформация:

$\mathcal{L}^{-1}\{Y\}=\mathcal{L}^{-1}\{\frac{3}{s}-\frac{6}{s+1}+\frac{3}{s+2}\}$

$\Rightarrow \boxed{y=3-6e^{-t}+3e^{-2t}}$