ХДУ - как се получава

[b1ck0]

[tex]\frac{d^2 W}{dt^2} + \lambda^2 . W =0[/tex] - ХДУ

Търсим решение във вида:
[tex]W(t) = A.e^{rt}[/tex]
Заместваме в ХДУ:

[tex]A.r^2.e^{rt} + \lambda^{2}.A.e^{rt} = 0[/tex]
[tex]\cancel A.r^2. \cancel e^{rt} + \lambda^{2}. \cancel A. \cancel e^{rt} = 0[/tex]
[tex]r^2 + \lambda^2 = 0[/tex]
[tex]r_{1;2} = \pm i.\lambda[/tex]

[tex]w(t) = A_{1}.e^{r_{1}t} + A_{2}.e^{r_{2}t}[/tex]
[tex]w(t) = A_{1}.e^{i \lambda t} + A_{2}.e^{-i \lambda t}[/tex]
[tex]\blue \fbox { w(t) = A_{1} \left( \cos{ \lambda t} + i \sin{ \lambda t} \right) + A_{2} \left( \cos{ \lambda t } - i \sin{ \lambda t} \right) }[/tex]

и след това отговора е:

[tex]\red \fbox{ w(t) = C_{1} . \cos{ \lambda t} + C_{2}. \sin{ \lambda t} }[/tex]

[tex]C_{1} = B. \sin{ \theta}[/tex] и [tex]C_{2} = B. \cos{ \theta}[/tex] и [tex]B = \sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2}}[/tex] и [tex]\theta = arctan \left( \frac{C_{1}}{C_{2}} \right)[/tex]

Въпроса ми е:
Как от "синия" ред се получава след това "червения" ?
Не можах да го докарам дотам ...
Благодаря ви предварително!

[mkmarinov]

Разкриваш скобите, прегрупираш и полагаш?

[b1ck0]

Аз разкрих скобите, но пред синуса имам [tex]i[/tex], а във червеното няма и следа от него ...

[ganka simeonova]

Когато корените на характеристичното уравнение са ти комплексни, т.е.
[tex]k_1=\alpha +\lambda i; k_2=\alpha -\lambda i[/tex],
функцията се представя във вида
[tex]w(t)=e^{\alpha t}(C_1cos\lambda t+C_2sin\lambda t)[/tex]

[b1ck0]

Когато корените на характеристичното уравнение са ти комплексни, т.е.
[tex]k_1=\alpha +\lambda i; k_2=\alpha -\lambda i[/tex],
функцията се представя във вида
[tex]w(t)=e^{\alpha x}(C_1cos\lambda t+C_2sin\lambda t)[/tex]

Явно има някъде грешка в моя пост, защото това не мога да го получа ....

[Popovster]

[tex]w \left( t \right) =A\cdot {e}^{{\it rt}}[/tex]
[tex]A{r}^{2}{e}^{{\it rt}}+{\lambda}^{2}A{e}^{{\it rt}}=0[/tex]
[tex]{e}^{{\it rt}}\neq 0[/tex]
[tex]A\neq 0[/tex]
[tex]{r}^{2}+{\lambda}^{2}=0[/tex]
[tex]r=\mbox {{\tt `\&+-`}} \left( i\lambda \right)[/tex]
[tex]w \left( t \right) =A_{{1}}{e}^{i\lambda t}+A_{{2}}{e}^{-i\lambda t}[/tex]
[tex]{e}^{{\it ix}}=\cos \left( x \right) +i\sin \left( x \right)[/tex]
[tex]{e}^{-{\it ix}}=\cos \left( x \right) -i\sin \left( x \right)[/tex]
[tex]w \left( t \right) =A_{{1}} \left( \cos \left( \lambda t \right) +i
\sin \left( \lambda t \right) \right) +A_{{2}} \left( \cos \left(
\lambda t \right) -i\sin \left( \lambda t \right) \right)[/tex]
[tex]w \left( t \right) = \left( A_{{1}}+A_{{2}} \right) \cos \left(
\lambda t \right) + \left( A_{{1}}i-A_{{2}}i \right) \sin \left(
\lambda t \right)[/tex]
[tex]C_{{1}}=A_{{1}}+A_{{2}}[/tex]
[tex]C_{{2}}=i \left( A_{{1}}-A_{{2}} \right)[/tex]
[tex]C_{{1}}={\frac {C_{{1}}\sqrt {{C_{{1}}}^{2}+{C_{{2}}}^{2}}}{\sqrt {{C_
{{1}}}^{2}+{C_{{2}}}^{2}}}}[/tex]
[tex]C_{{2}}={\frac {\sqrt {{C_{{1}}}^{2}+{C_{{2}}}^{2}}C_{{2}}}{\sqrt {{C_
{{1}}}^{2}+{C_{{2}}}^{2}}}}[/tex]
[tex]B=\sqrt {{C_{{1}}}^{2}+{C_{{2}}}^{2}}[/tex]
[tex]\sin \left( \theta \right) ={\frac {C_{{1}}}{\sqrt {{C_{{1}}}^{2}+{C_{
{2}}}^{2}}}}[/tex]
[tex]\cos \left( \theta \right) ={\frac {C_{{2}}}{\sqrt {{C_{{1}}}^{2}+{C_{
{2}}}^{2}}}}[/tex]
[tex]w \left( t \right) =B\sin \left( \theta \right) \cos \left( \lambda t
\right) +B\cos \left( \theta \right) \sin \left( \lambda t \right)[/tex]
[tex]w \left( t \right) =B \left( \sin \left( \theta \right) \cos \left(
\lambda t \right) +\cos \left( \theta \right) \sin \left( \lambda t
\right) \right)[/tex]
[tex]w \left( t \right) =B\sin \left( \lambda t+\theta \right)[/tex]

[b1ck0]

[tex]w \left( t \right) =A\cdot {e}^{{\it rt}}[/tex]
...
[tex]w \left( t \right) =A_{{1}} \left( \cos \left( \lambda t \right) [+] i
\sin \left( \lambda t \right) \right) +A_{{2}} \left( \cos \left(
\lambda t \right) [-] i \sin \left( \lambda t \right) \right)[/tex]
[tex]w \left( t \right) = \left( A_{{1}}+A_{{2}} \right) \cos \left(
\lambda t \right) + \left( A_{{1}}i [+] A_{{2}}i \right) \sin \left(
\lambda t \right)[/tex]
...