Диференциално Уравнение от Изпит

[PodpalvachkaTa666]

Здравейте, математици ! Надявам се някой ден да стигна Вашите висоти, но очевидн съм доста далеч от този момент ... Това е едно уравнение от изпита ми по Анализ 2 част, което нито тогава,нито сега успявам да реша. Подозирам,че е много лесно,но дори не успявам да си реша характеристичното уравнение! Ще Ви бъда благодарна ако помогнете. Има още една задача от изпита за намиране на обем,но все още не съм се предела-още я мъча
Благодаря предварително!

[tex]x^{3}u^{(3)}(x) - 3xu^{(1)} (x) + 3u(x) = xlnx[/tex]

[PodpalvachkaTa666]

Такаммм, мисля че имам малко напредък...
Характеристичното уравнение е:
[tex]f(r) = r (r^{2} - 1) - 3r + 3 = 0[/tex]
[tex]r^{3} - 4r + 3 = 0[/tex]
[tex]r_{1} = 1[/tex]

[tex]r_{2,3} = 1/2 \pm 3i[/tex]

[tex]Y=e^{1/2x} ( Acos3ln|x|+Bsin3ln|x|)[/tex]

[tex]x=e^{t}[/tex]

[tex]d^{3}y / dt^{3} - 4. dy/dt +3y = t e^{t}[/tex]


[tex]n=n(t)[/tex]

[tex]n=(At + B)e^{t}[/tex]


[tex]F(t) = t e^{t}[/tex]


засега е това.. но не съм сигурна,че е вярно

[PodpalvachkaTa666]

Не мога да се справя и това е,запънах се...

[Flame]

Такаммм, мисля че имам малко напредък...
Характеристичното уравнение е:
[tex]f(r) = r (r^{2} - 1) - 3r + 3 = 0[/tex]
[tex]r^{3} - 4r + 3 = 0[/tex]
[tex]r_{1} = 1[/tex]
[tex]r_{2,3} = 1/2 \pm 3i[/tex]
[tex]Y=e^{1/2x} ( Acos3ln|x|+Bsin3ln|x|)[/tex]
[tex]x=e^{t}[/tex]
[tex]d^{3}y / dt^{3} - 4. dy/dt +3y = t e^{t}[/tex]
[tex]n=n(t)[/tex]
[tex]n=(At + B)e^{t}[/tex]
[tex]F(t) = t e^{t}[/tex]
засега е това.. но не съм сигурна,че е вярно

Добре, че Ойлер няма да види това.

Субституция на Ойлер.

[tex]x=e^t[/tex]
[tex]u(x)=y(x(t))[/tex]
[tex]u'=\frac{y'}{x}[/tex]
[tex]u''=\frac{y''-y'}{x^2}[/tex]
[tex]u'''=\frac{y'''-3y''+2y'}{x^3}[/tex]

Внимателно заместваш в даденото ДУ и получаваш Нехомогенно ДУ с постоянни коефициенти от трети ред. След това работиш по познатия начин и накрая връщаш полагането.
[tex]t=\ln(x)[/tex]

[PodpalvachkaTa666]

Много благодаря за упътването ! Но мисля,че ще имам нужда от още малко помощ... ето докъде стигнах:

[tex]x^{3}.\frac{y'''-3''+2y'}{x^{3}} - 3x .\frac{y'}{x} + 3y = xlnx[/tex]

[tex]y'''-3y''-y'+3y=te^{t}[/tex]

Характеристично :

[tex]r^{3}-3y^{2}-r+3=0[/tex]

[tex]r_{1}=-1 ; r_{2} = 1 ; r_{3}=3[/tex]

[tex]y= C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{t} + C_{3}e^{3t} + n[/tex]

[tex]n=(At+B)e^{t}[/tex] <== Това така ли е? И после..

[tex]n'=[(At+B)e^{t}]' = Ae^{t} + (At+B)e^{t}[/tex]
[tex]n''= [Ae^{t} + (At+B)e^{t}]' = 2Ae^{t} + (At+B)e^{t}[/tex]
[tex]n'''=[2Ae^{t}+(At+B)e^{t}]'=3Ae^{t} + (At+B)e^{t}[/tex]

[tex]3Ae^{t} +(At+B)e^{t} =t e^{t}[/tex]

И оттук би трябвало да изкараме А и В... но нещо не мога

[L.e.o]

PodpalvachkaTa666,
Не забравяй, че у-ета е негохомогенно и трябва да намериш и прибаваш и неговото решение към това на хомогенното у-е.

[PodpalvachkaTa666]

PodpalvachkaTa666,
Не забравяй, че у-ета е негохомогенно и трябва да намериш и прибаваш и неговото решение към това на хомогенното у-е.

да,мерси поправям го веднага

[Flame]

[tex]n=(At+B)e^{t}[/tex] <== Това така ли е? И после..

Не това не е вярно.
[tex]\eta=(At+B).t.e^{t}[/tex]
Това t се появи защото r=1 е корен на характеристичното уравнение и на дясната част.

[tex]\eta '=A e^t t + e^t (B + A t) + e^t t (B + A t)[/tex]
[tex]\eta ''=2 A (e^t + e^t t) + (B + A t) (2 e^t + e^t t)[/tex]
[tex]\eta '''=3 A (2 e^t + e^t t) + (B + A t) (3 e^t + e^t t)[/tex]

Заместваме в първоначалното уравнение и опростяваме.

[tex](4 B + t + 8 A t) = 0 \Leftrightarrow 4 B + (1 + 8 A) t = 0[/tex]



[tex]4 B=0 \Leftrightarrow B=0[/tex]
[tex](1 + 8 A)=0 \Leftrightarrow A=-\frac{1}{8 }[/tex]

[tex]\eta=(-\frac{1}{8} t+0).t.e^{t}[/tex]

Окончателно:

[tex]y=C_1e^{-t}+C_2e^t+C_3.e^{3.t}+\eta[/tex]

[tex]y=C_1e^{-t}+C_2e^t+C_3.e^{3.t}-\frac{1}{8}t^2.e^{t}[/tex]

[tex]y=C_1e^{-t}+(C_2-\frac{1}{8}t^2) e^t+C_3.e^{3.t}[/tex]


И накрая :
[tex]t=\ln|x|[/tex]

[PodpalvachkaTa666]

Оххх, много благодаря !!!! Ама Много ! Не знам колко хора трябва да Ви черпят от този форум,но и аз се присъединиявам към тях !

[darkpoet]

как получихте това =>
[tex]u'=\frac{y'}{x}[/tex]
[tex]u''=\frac{y''-y'}{x^2}[/tex]
[tex]u'''=\frac{y'''-3y''+2y'}{x^3}[/tex]
Ако може да обясните...