Частица

[Гост]

Частица пада в среда, чието съпротивление е пропорционално на квадрата на скоростта й v. Да се намери [tex]\lim_{t \to 0}v[/tex].

[Гост]

*[tex]\lim_{t \to \infty }v[/tex]

[Гост]

G-f=m(dv/dt) zashto? natatak?

[peyo]

Частица пада в среда, чието съпротивление е пропорционално на квадрата на скоростта й v.
Да се намери [tex]\lim_{t \to \infty }v[/tex]

Всички тела падат според втория закон (известен още като закона на ябълката):
$F_p=gm$

А нашето тяло отгоре на това сила го бута нагоре според:
$F_s=kv^2$

И сега да предположим, че тялото пада толкова много време, че скоростта му става константа според първия закон известен още като закон за покоя:
$F_p - F_s = 0$

Или:
$gm - kv^2 = 0$

Или:
$v= \sqrt{gm/k} $

И това е скоростта в безкрайност. (вероятно, не съм я измерил лично)

ХО-ХО-ХО

dedmorozfall.png (103.09 KiB) Прегледано 1788 пъти

[Гост]

hitro, no tolkova li e naistina?reshi diferencialnoto uravnenie po-gore...

[pipi langstrump]

Толкова е, разбира се

[Гост]

dobre de, ne razbirate li, che se tursi dokazatelstvo? v koi razdel e pomestena taja zadacha?

[pipi langstrump]

Какво значение има в кой раздел е. Това е задача по физика и физичното доказателство е толкова вярно, колкото и чисто математическото.

[ammornil]

Нека коефициентът на пропорционалност е [tex]k[/tex].
Тогава: [tex]F_{тр}=kv^{2}[/tex]

За свободно падане имаме: [tex]G-F_{тр}=m.a \Leftrightarrow m.g-k.v^{2}=m.a \Leftrightarrow m.g-k.v^{2}=m\frac{dv}{dt} \Leftrightarrow \frac{1}{m}dt=\frac{1}{m.g-k.v^{2}}dv[/tex]

[tex]\Rightarrow \int{\frac{1}{m}dt} = \int{\frac{1}{m.g-k.v^{2}}dv}[/tex]

интегралното смятане ми е доста далечна материя, така че не гарантирам 100% че долните преобразувания са коректни

[tex]\int{\frac{1}{m}dt} =\frac{1}{m} \int{dt} = \frac{1}{m}.t+C_{t}[/tex]

[tex]\int{\frac{1}{m.g-k.v^{2}}dv}= \int{\frac{1}{k\left(\frac{m.g}{k}\right)-k.v^{2}}dv}= \frac{1}{k}\int{\frac{1}{\frac{m.g}{k}-v^{2}}dv}[/tex]

Нека [tex]v=\sqrt{\frac{m.g}{k}}.\mathit{tanh}{\Theta} \Leftrightarrow \Theta = \mathit{arctanh}\left( \frac{v}{\sqrt{\frac{m.g}{k}}} \right) \Rightarrow dv=\sqrt{\frac{m.g}{k}}.\mathit{sech^{2}}{\Theta}d\Theta \Rightarrow \frac{1}{k}\int{\frac{1}{\frac{m.g}{k}-v^{2}}dv}=\frac{1}{k}\int{\frac{1}{\frac{m.g}{k}-\frac{m.g}{k}.\mathit{tanh^{2}}{\Theta} }\sqrt{\frac{m.g}{k}}.\mathit{sech^{2}}{\Theta}d\Theta}=[/tex]

[tex]=\frac{1}{k}\int{\frac{1}{\left( \sqrt{\frac{m.g}{k}} \right)^{\cancel{2}}}\frac{1}{1-\mathit{tanh^{2}}{\Theta} }\frac{\cancel{\sqrt{\frac{m.g}{k}}}}{1}.\mathit{sech^{2}}{\Theta}d\Theta} = \frac{1}{k}.\frac{1}{\sqrt{\frac{m.g}{k}}}\int{}\frac{\mathit{sech^{2}}{\Theta}}{1-\mathit{tanh^{2}}{\Theta}}d\Theta= \frac{1}{k}.\frac{1}{\sqrt{\frac{m.g}{k}}}\int{\frac{\cancel{\mathit{sech^{2}}{\Theta}}}{\cancel{\mathit{sech^{2}}{\Theta}}}d\Theta} =[/tex]

[tex]=\frac{1}{k}.\frac{1}{\sqrt{\frac{m.g}{k}}}\int{ d\Theta} = \frac{1}{k}.\frac{1}{\sqrt{\frac{m.g}{k}}}.\Theta + C_{v} = \frac{1}{k}.\frac{1}{\sqrt{\frac{m.g}{k}}}.\mathit{arctanh}\left( \frac{v}{\sqrt{\frac{m.g}{k}}} \right) + C_{v}[/tex]

Нека [tex]C_{v}-C_{t}=C[/tex]

[tex]\Rightarrow \int{\frac{1}{m}dt} = \int{\frac{1}{m.g-k.v^{2}}dv} \rightarrow \frac{1}{m}.t+C_{t}=\frac{1}{k}.\frac{1}{\sqrt{\frac{m.g}{k}}}.\mathit{arctanh}\left( \frac{v}{\sqrt{\frac{m.g}{k}}} \right) + C_{v} \Leftrightarrow \frac{1}{m}.t=\frac{1}{k}.\frac{1}{\sqrt{\frac{m.g}{k}}}.\mathit{arctanh}\left( \frac{v}{\sqrt{\frac{m.g}{k}}} \right) + C[/tex]

Сега като гледам това чудовище си мисля че може би [tex]\sqrt{\frac{m.g}{k}}=\beta[/tex] щеше да е удобна субституция също. Просто идея за орпостяване на горния запис, но аз няма да го правя в Латекс защото

[tex]\frac{1}{m}.t=\frac{1}{k}.\frac{1}{\beta}.\mathit{arctanh}\left( \frac{v}{\beta} \right) + C[/tex]

[tex]\frac{v}{\beta}=\mathit{tanh}{\left(\frac{k\beta}{m}t\right)} \Rightarrow v(t)=\beta\mathit{tanh}{\left(\frac{k\beta}{m}t\right)} \Rightarrow \lim_{t \to 0 }v(t) =\lim_{t \to 0 }\beta\underbrace{\mathit{tanh}{\left(\frac{k\beta}{m}t\right)}}_{ \rightarrow 0 } = ... = 0[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]\lim_{t \to \infty }v(t) =\lim_{t \to \infty }\beta\underbrace{\mathit{tanh}{\left(\frac{k\beta}{m}t\right)}}_{ \rightarrow 1 } = ... = \beta = \sqrt{\frac{m.g}{k}}[/tex]

[pipi langstrump]

$\int{\frac{1}{m.g-k.v^{2}}dv}$

Полагаме $mg/k = b^2$ и интеграла става


$I = \frac{1}{k}\int{\frac{dv}{b^2-v^{2}}} $

$\frac{1}{b^2-v^{2}} = \frac{1}{2b}(\frac{1}{b-v} + \frac{1}{b+v})$

$I = \frac{1}{2kb}\ln \frac{b+v}{b-v}$

В граници от 0 до t получаваме $\frac{t}{m}= \frac{1}{2kb}\ln \frac{b+v(t)}{b-v(t)}$ и оттук

$ v(t) = b\frac{\exp((\frac{2kb}{m})t)- 1}{\exp((\frac{2kb}{m})t)+1}$ откъдето веднага се вижда, че отношението на експонентите клони към 1 при t клонящо към безкрайност, следователно v клони към b, т.е. към sqrt(mg/k).

[Гост]

bravo, tui veche e dokazatelstvo...
pipi, razbra li zashto onui na peyo/NASA ne e?

[pipi langstrump]

bravo, tui veche e dokazatelstvo...
pipi, razbra li zashto onui na peyo/NASA ne e?

Да, а ти разбра ли защо е?

[Гост]

koi hipotezi peyo/NASA izkazvat, koito sled tva ne dokazvat?

[pipi langstrump]

Тази, че след някое време (може и безкрайно дълго, т.е. асимптотично) скоростта става постоянна. Това се вижда като анализираме движението на частицата. На нея й действат две сили, едната 1 от която е постоянна, а другата 2 е с обратна посока на първата и расте по големина в зависимост от скоростта й. Понеже в началото скоростта е била 0, то можем да кажем, че след достатъчно малко време $\Delta t$ резултантната сила 3 ще е по посока на 1 и тялото ще се ускорява. Ускорението v' ще стане 0 в момента, когато тялото достигне граничната скорост sqrt(mg/k) и движението му ще продължи като праволинейно равномерно до безкрайност защото силата 2 не може да превиши силата 1. Както казах това може да стане и асимптотично, както в действителност е. Но във всеки случай границата [tex]\lim_{t\to \infty } v(t)[/tex] e една и съща.

[ammornil]

Струва ми се, че колегата "Гост" може би не разбира или не се интересува от физичните основи на процеса, защото задачата им е поставена за решаване по математика. Много пъти, в стремежа си да покажат практическото приложение на математическа концепция, учебните материали поставят проблеми, които могат да се решат (често пъти доста по-лесно) без да се използва новоизучавания математически апарат.
Струва ми се, че такъв е случаят и тук.

Физичното доказателство се основава на валиден принцип в класическата динамика и е напълно приемливо за така зададения проблем. [tex]kv^{2}[/tex] по природа е сила, размерността на [tex]k[/tex] е [tex]\left[ \frac{kg}{s} \right][/tex]. Теглото е ускоряващата сила, а триенето- противодействащата забавяща сила. Ако триенето беше постоянно и по-малко от теглото, то тялото щеше да се ускорява с нарастване на времето.
Равнодействащата сила, формирана от разликата между теглото и триенето, определя ускорение [tex]a[/tex], което определя временната скорост $$ \Delta v=\frac{G-F_{тр}}{m} \Delta t, \hspace{2em} \footnotesize{(\Delta \text{ има смисъл на безкрайно малкото изменение на ...})}.$$ Получава се затворен кръг: нарастването на скоростта увеличава триенето, триенето намаля равнодействащата сила, което намаля ускорението и забавя нарастването на моментната скорост. Така с всяка изминала секунда, ускорението на тялото намалява, докато в един момент стане равно на нула. В този момент тялото започва равномерно, праволинейно движение. Граничната скорост, при която това движение ще се реализира, може да се определи (както е споменал колегата peyo) от първия принцип на динамиката, още наричан "Закон за покоя" или "Принцип за инерцията". Понеже отсъстват други сили и ако приемем, че гравитационното поле е безкрайно, то математичски, тази гранична скорост ще има вида [tex]v_{гр}=\lim_{t \to \infty }v(t)[/tex]. Ако не ме лъже паметта, на практика, това е също така максималната скорост, която тялото може да развие при дадените начални условия. Реално тя се достига след краен интервал от време и остава постоянна докато не се появи нова сила в системата.

[Гост]

znachi, neka zadachata ne zavurshva s " Da se nameri lim v", ami taka: "Dokazhete, che v edin moment dvete sili, deistvuvashti na chasticata, se izravnjavat i uskorenieto stava nula". Zapovjadajte.

[pipi langstrump]

znachi, neka zadachata ne zavurshva s " Da se nameri lim v", ami taka: "Dokazhete, che v edin moment dvete sili, deistvuvashti na chasticata, se izravnjavat i uskorenieto stava nula". Zapovjadajte.

Математически в никой момент не се изравняват, но това няма как да знаем без да решим уравнението (или аз не се сещам как). Затова предполагаме че е възможно да стане и в крайна сметка се оказва, че резултата е същ и в двата случая. Трети вариант няма.

[Гост]

toest kakvo? predpolozhenieto broi li se za dokazatelstvo?

[pipi langstrump]

Да.

[Гост]

togava iskai ot NASA pari da redaktirash vsichki uchebnici, v koito ima dokazatelstva...

[pipi langstrump]

С кое не си съгласен от това, което съм написал?

[Гост]

tvurdish, che da predpolozhish, che dvete sili se izravnjavat, e sushtoto, kakto da go dokazesh...

[pipi langstrump]

Не го твърдя, явно не сме се разбрали.