ДУ нерешени относно производната

[ironsteel]

Здравейте. Имам проблем със следното ДУ:

[tex]y = y'^{2} + 2y'^{3}[/tex]

До колкото знам тук трябва да се реши с параметър: [tex]y' = p[/tex]

Получава се: [tex]y = p^{2} + 2p^{3}[/tex]

Oт тук нататък незнам по-точно какво се прави, би трябвало да се диференцира, но не мога да разбера какво ще се получи?

Ето това ми идва на акъла: [tex]y = 2p + 6p^{2}[/tex]
Искам да ви помоля за някави насоки, и ако греша някъде, къде греша.

Благодаря Ви предварително.

[martin.nikolov]

Трябва да диференцираш и двете страни и помниш, че [tex]y'=p[/tex]

[tex](y)'=\left(p^2+2p^3\right)'[/tex]

[tex]p=2pp'+6p^2p'[/tex]

От тук намираш р и после игрек.

[ironsteel]

Благодаря много.

И още едно:

[tex]y = ln( 1 + y'^{2})[/tex]
[tex]y' = p[/tex]

[tex]y = ln( 1 + p^{2})[/tex]
Като диференцирам:

[tex]p = \frac{2pp'}{1+p^{2} }[/tex]
И това като го интегрирам:

[tex]\int_{}^{ }\frac{2pdp}{1 + p^{2}}[/tex]
Опа тука нещо не сванах как става работата, в грешка ли съм ?
Нещо не мога да схвана.

От тук намираш р и после игрек.

Извинявам се.

[martin.nikolov]

[tex]p=\frac{2pp'}{1+p^2}[/tex]

1. Ако [tex]p=0[/tex], то [tex]y'=0[/tex]. Следователно y е константа, от уравнението следва, че у=0.

2. Ако р не е нула делим на р.

[tex]1=\frac{2p'}{1+p^2}[/tex]

Което е с разделящи се прменливи.