Задача на Коши

[toddler]

Може ли малко помощ ?

[tex]e^{y}[/tex][tex]u_{xx}[/tex] + 2(1 - [tex]e^{y}[/tex]) [tex]u_{xy}[/tex] - 4[tex]u_{yy}[/tex] + [tex]\frac{2e^{y}}{1 + e^{y}[/tex](2[tex]u_{y}[/tex] - [tex]u_{x}[/tex]) = 0

u|[tex]_{y=0}[/tex] = 4x -1, [tex]u_{y}[/tex]|[tex]_{y=0}[/tex] = 8x - 2

[martin.nikolov]

Понеже сме хитри, или знаем малко теория, правим следното полагане.

[tex]\xi=y+2x[/tex] и [tex]\eta=e^y-2x[/tex]

След смяна на променливите, тук има твърде много сметки и ме мързи да ги пиша тук, се получава

[tex]4e^y(e^y-4)u_{\xi\eta}=0[/tex] или [tex]u_{\xi\eta}=0[/tex].

Общото решение е

[tex]u=f(\xi)+g(\eta)[/tex], където [tex]f[/tex] и [tex]g[/tex] са произволни фунции. Заместваме обратно

[tex]u(x,y)=f(y+2x)+g(e^y-2x)[/tex]

Използвайки началните условия намираме, след малко сметки, че

[tex]u(x,y)=(y+2x)^2-(e^y-2x)^2[/tex]

[toddler]

Благодаря много за насоките! Получи се! Поздрави