Обикновено диференциално уравнение

[integer]

Покажете, че посочената функция е решение на съответното обикновено диференциално уравнение:

[tex]y = x^{-4}[/tex] функция
[tex]x\frac{dy}{dx}+4y = 0[/tex] уравнение[/tex]

[stflyfisher]

Покажете, че посочената функция е решение на съответното обикновено диференциално уравнение:

[tex]y = x^{-4}[/tex] функция
[tex]x\frac{dy}{dx}+4y = 0[/tex] уравнение

1. Какво означава решение на дадено ур-ние?

Отговор:
1. начин:
[tex]y=x^{-4}=> \frac{dy}{dx}=f(x)'=(x^{-4})'=-4x^{-5}[/tex]

[tex]x\frac{dy}{dx}+4x=x.(-4x^{-5})+4.x^{-4}=-4x^{-5+1}+4x^{-4}=-4x^{-4}+4x^{-4}=0=>[/tex]

[tex]=>y = x^{-4}[/tex] е решение на уравнението: [tex]x\frac{dy}{dx}+4y = 0[/tex]

2. начин(малко по-сложно)

[tex]x\frac{dy}{dx}+4y = 0[/tex]

[tex]x\frac{dy}{dx}=-4y[/tex]

[tex]\frac{1}{y}dy=-4\frac{1}{x}dx[/tex]

[tex]\int_{}^{ } \frac{1}{y}dy=\int_{}^{ } -4\frac{1}{x}dx[/tex]

[tex]\int_{}^{ } \frac{1}{y}dy=-4\int_{}^{ } \frac{1}{x}dx[/tex]

[tex]ln y=-4lnx+C; C-const[/tex] (произволна) [tex]; y>0; x>0[/tex]

[tex]ln y=ln x^{-4}+ln C_1; C=ln C_1-const(C_1>0)[/tex] (произволна)

[tex]ln y=ln C_1x^{-4}[/tex]

[tex]y=C_1x^{-4}[/tex]

при [tex]C_1=1=>y=x^{-4}[/tex]