Удобно и полезно полагане

[doubleRainbow]

Здравейте, някой може ли да подскаже за следните задачи:

| 2 * у * [(x - 1) * y' + y ] + x +1=0
| y( 2 ) = 1

----------------------------------

y' = x * y'' + 4 / ( y'' ) ^ 2

[Flame]

Задача 1) Упътване

[tex]2.y.[(x - 1).y' + y ] + x +1=0[/tex]
Правим елементарни преобразования и достигаме до:
[tex]y'=\frac{-1-x-2.y^2}{2(-1+x).y}[/tex]
Без полагане няма да мине. Пробваме няколко пъти и установяваме, че с
[tex]y^2=z[/tex],[tex](z\ge 0)[/tex] нещата потръгват:
[tex]y=\sqrt{z}[/tex]
[tex]y'=\frac{1}{2.\sqrt{z}}.z'[/tex] Е заместваме в нашето уравнение.
[tex]\frac{1}{2.\sqrt{z}}.z'=\frac{-1-x-2.z}{2(-1+x).\sqrt{z} }\Leftrightarrow z'=\frac{-1-x-2.z}{(-1+x)}[/tex]
[tex]z'=\frac{-2}{(-1+x)}.z+\frac{-1-x}{(-1+x)}[/tex]
Последното е линейно ДУ и не вярвам да те затрудни...


Задача 2) Упътване

[tex]y'=x.y''+\frac{4}{{y''}^2 }[/tex]
Това е видно, че търпи понижение на редът си с полагането:
[tex]y'=z[/tex]
[tex]y''=z'[/tex]
[tex]z=x.z'+\frac{4}{{z'}^2 }[/tex] Това е от вид:
[tex]z=x.z'+f(z')[/tex] - ДУ на Клеро

Ами успех!