задача на коши

[kissyyy]

Намерете решението на задачата на Коши
y''' – y'' + 2 y' – 2 y = 0
y(0) = 3
y'(0) = –2
y''(0)= –2
Oпределете най-голямата стойност
на функцията y(x) в интервала [-1, 3].


мерси предварително

[Anubis]

[tex]y'''-y''+2y'-2y=0[/tex]

Решаваме характеристичното уравнение:

[tex]\lambda^3 - \lambda^2 + 2 \lambda - 2 = 0 \Leftrightarrow ( \lambda - 1 ) ( \lambda^2 + 2 ) = 0 \Leftrightarrow \lambda_{1} = 1 \, \cup \, \lambda_{2} = \operatorname{i}\sqrt{2} \, \cup \, \lambda_{3} = -\operatorname{i}\sqrt{2}[/tex]

Фундаменталната система от решения е

[tex]e^{\lambda_{1} x}, \, e^{\lambda_{2} x}, \, e^{\lambda_{3} x}[/tex]

и понеже имаме комплексни корени, тази фундаментална система е

[tex]e^{x}, \, cos {\sqrt{2}x}, \, sin {\sqrt{2}x}[/tex].

Общото решение е линейна комбинация на тези трите, т. е.

[tex]y(x) = c_{1} e^x + c_{2} cos {\sqrt{2}x} + c_{3} sin {\sqrt{2}x}[/tex].

По условие

[tex]y(0)=3 \Leftrightarrow \fbox {c_{1} + c_{2} = 3}[/tex].

Диференцираме общото решение, имаме

[tex]y'(x) = c_{1}e^x - \sqrt{2} c_{2} sin {\sqrt{2}x} + \sqrt{2} c_{3} cos {\sqrt{2}x}[/tex].

Но

[tex]y'(0)=-2 \Rightarrow \fbox {c_{1} + \sqrt{2} c_{3} = -2}[/tex].

Диференцираме още веднъж, следователно

[tex]y''(x) = c_{1}e^x - 2 c_{2} cos {\sqrt{2}x} - 2 c_{3} sin {\sqrt{2}x}; \, y''(0)=-2 \Rightarrow \fbox {c_{1} - 2 c_{2} = -2}[/tex].

От трите оградени намираме [tex]c_{1} = \frac{4}{3}, \, c_{2} = \frac{5}{3}, \, c_{3} = -\frac{10}{3\sqrt{2}}[/tex]. Задачата на Коши има крайно решение

[tex]y(x) = \frac{4}{3}e^x + \frac{5}{3} cos {\sqrt{2}x} - \frac{10}{3\sqrt{2}} sin {\sqrt{2}x}[/tex].

Другото мисля, че и сама можеш да си го направиш.

[kissyyy]

merci mnogo;] da s drugoto 6te se spravq