Задачи от ДУ

[student]

Здравейте, три задачи от ДУ ме затрудняват:

1.)[tex]y'-tg\frac{y-2x}{x+1}=\frac{y+2}{x+2}[/tex]

Отг: [tex]sin (\frac{y-2x}{x+1})=C(x+1)[/tex]

2.)[tex](y+1)(1-x)dx-xydy=0[/tex]

Отг: [tex]x(y+1)=Ce^{x+y}[/tex]

3.)[tex]y'=y^2-\frac{2}{x^2}[/tex]

Отг: [tex]1-xy=Cx^3(2+xy)[/tex]

Според ръководството, от което се решавам задачите, всичките трябва да се сведат към хомогенни ДУ и в това ми е проблем. Ако успея да ги доведа до хомогенни, ще ги реша, но...

Ще съм благодарен, ако някой ми помогне.

[Mark]

1) [tex]x=t-1[/tex] , [tex]y=u-2[/tex]
3) [tex]y=z^{-1}[/tex]

[student]

1) [tex]x=t-1[/tex] , [tex]y=u-2[/tex]

1.) [tex]=> dx=dt; dy=du=>y'=\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dt}=u'[/tex]

[tex]u'-tg \frac{u-2-2t+2}{t}=\frac{u-2+2}{t+1}[/tex]

[tex]u'-tg \frac{u-2t}{t}=\frac{u}{t+1}[/tex]

[tex]u'-tg (\frac{u}{t}-2)=\frac{u}{t+1}[/tex]

В ляво е добре за полагане при хомогенните ДУ, но в дясно не става според мен. Може ли малко помощ?

[student]

3) [tex]y=z^{-1}[/tex]

3.)[tex]=>y'=(-1).z^{-2}.z'[/tex]

[tex](-1).z^{-2}.z'=z^{-2}-2x^{-2}[/tex]

[tex]x^2z'=x^2-2z^2[/tex]

[tex](x^2-2z^2)dx-x^2dz=0[/tex]

[tex]P(x,z)=x^2-2z^2, P(tx,tz)=(tx)^2-2(tz)^2=t^2(x^2-2z^2)=t^2.P(x,z)[/tex]

[tex]Q(x,z)=-x^2, Q(tx,tz)=-(tx)^2=t^2(-x^2)=t^2.Q(x,z)=>[/tex]

Полученото ДУ е хомогенно. От тук вече е ясно. Само не разбрах как се сети за това полагене?

Благодаря.