Уравнение y^4+2y^3+2y^2....

[Dark Angel]

Здравейте,
ако може малко помощ за едно уравнение. Малко го закъсах някъде по пътя.....
[tex]y^{''''}+2y^{'''}+2y^{''}+2y^{'}+y=x.e^{x}+\frac{1}{ 2} cosx[/tex] Дотук всичко е ясно. Правим характеристично уравнение и го решаваме.....
[tex]r^{4}+2r^{3}+2r^{2}+2r+1=0[/tex]
[tex](r^{4}+1)+2r(r^{2}+1)+2r^{2}=0[/tex]
[tex](r^{4}+2r^{2}+1-2r^{2})+2r(r^{2}+1)+2r^{2}=0[/tex]
[tex](r^{2}+1)^{2}-2r^{2}+2r(r^{2}+1)+2r^{2}=0[/tex]
[tex](r^{2}+1)^{2}+2r(r^{2}+1)=0[/tex]
Тук добавям знаменател.....
[tex]\frac{(r^{2}+1)^{2}}{r^{2} }+\frac{2(r^{2}+1)}{r }=0[/tex]
Сега полагам....
[tex]\frac{(r^{2}+1)^{2}}{r}=t[/tex]
[tex]t^{2}+2t=0 t(t+2)=0 t=0 t=-2[/tex]
Заместваме в горното и получаваме два реални и два имагинерни корена. А именно [tex]r_{1/2}=-1[/tex] [tex]r_{3/4}=0\pm i[/tex]
Нататък получавам следното.
[tex]Y(x)=C_{1}.e^{-x}+C_{2}.x.e^{-x}+(C_{3}cosx+C_{4}sinx).e^{0x}[/tex]
Дотук много добре си го гокарах, но сега имам проблем с останалата част на задачата. Гледайки задачата стигам до извода, че трябва да бъдат две отделни уравнения. Едното за [tex]x.e^{1x}[/tex] и второ за [tex]\frac{1}{2 }cosx.e^{0x}[/tex] Това добре, но проблемът ми е че [tex]r_{1/2}=-1[/tex] не са корени на [tex]x.e^{1x}[/tex] и нямам идея как да съставя уравнението. А и все пак трябва да диря чак до четвърта производна.
Ако може някой да ми удари едно рамо нататък ще бъда много благодарен.... ще ми спести една консултация. Предварително много благодаря за идеите.

[pipi langstrump]

[tex](r^{2}+1)^{2}+2r(r^{2}+1)=0[/tex]
Тук добавям знаменател.....

А защо не изнесеш общия множител пред скоби?

[Dark Angel]

Ами честно казано се сетих за това (имахме сходна задача в лекцийте). Но в крайна сметка дори и по предложения от теб вариянт пак би трябвало да го докарам до тук. И едното и другото е тъждество. Идеята е как да продължа нататък. Имам някаква смътна идея как да се оправя с косинуса, но за хикса наникъде не върви. Чета в момента задачи от едно Методическо ръководство, но за съжаление до този момент нищо сходно с моя случай.

[pipi langstrump]

Значи тоя вид на нехомогенната част ме кара да мисля, че най-добре ще е да търсим поотделно частни решения - най-напред за експонентата, а после за косинуса. Като ги съберем двете, очевидно ще получим частно решение на нехомогенното уравнение. И така, търсим частно решение [tex]\eta_{1}(x)[/tex] на уравнението

[tex]y'''' + 2y''' + 2y'' + 2y' + y = xe^x[/tex]

Дясната страна има вида [tex]e^{\lambda x}P_1(x)[/tex], където [tex]P_1(x)[/tex] e полином от първа степен.
Тъй като [tex]\lambda = 1[/tex] не е корен на характеристичното уравнение, решение ще търсим във вида
[tex]\eta_{1}(x) = e^{\lambda x}Q_1(x) = e^x(ax + b)[/tex]. Сега заместваме [tex]\eta_{1}(x)[/tex] в уравнението, извършваме диференцирането, съкращаваме експонентата и приравняваме коефициентите пред получения полином, за да намерим коефициентите а и б.

Второто частно решение [tex]\eta_{2}(x)[/tex] е решение на уравнението

[tex]y'''' + 2y''' + 2y'' + 2y' + y = \frac{1}{2} cos x[/tex]

Нехомогенната част има вида [tex]e^{\alpha x}(P_m(x) cos (\beta x) + Q_n(x) sin(\beta x))[/tex], където [tex]\alpha = 0, Q_n(x) = 0, \beta = 1, P_m(x) = P_0(x) = \frac{1}{2}[/tex]

Тъй като в случая [tex]\alpha + i\beta[/tex] e корен на характеристичното уравнение, решението ще се търси във вида
[tex]\eta_{2}(x) = x^ke^{\alpha x}(M_p(x) cos (\beta x) + N_p(x) sin(\beta x))[/tex], където k е кратността на корена, а [tex]p = \max(m,n)[/tex] . В случая [tex]k = 1 , p = 0[/tex]. Следователно решението ще има вида
[tex]\eta_{2}(x) = x(A cos x + B sin x)[/tex] . Константите А и B се определят по същия начин.

[Dark Angel]

Благодаря,
така вече постигнах напредък. С хикс я реших, но малко лични проблеми и нямах повече време, че и спокойствие за косинуса. Мисля довечера да я дореша цялата и да пусна отговора.
И още веднъж благодаря за идеята.