Уравнение (y^2-3x^2).dy-....

[Dark Angel]

Здравейте,
надявам се някой да удари едно рамо с този тип диференциални уравнения.
[tex](y^{2}-3x^{2}).dy-2xy.dx=0[/tex]
На лекцийте сме решавали такъв тип задачи, но много елементарни и честно казано не мога да схвана как да ги решавам. Доста материал изчетох по разни методически ръководства и в учебника, но вместо да ми стане по-ясно се обърках още повече. На едно място се дава да се направи система от уравнения и да се изрази едната променлива, на друго място казват, че трябва да се допълнят с произволна функция, която да удовлетворява и двете функции и просто съм до никъде. Задачата от лекцийте ми е.... [tex]x.dy=x+y.dx[/tex] която както казах е доста елементарна и след едно полагане добива човешки вид и променливите се отделят. А тази както и да я въртя никаква идея не ми хрумва.
Предварително благодаря.

[Добромир Глухаров]

Умножаваш по [tex]y^2[/tex] и получаваш Точно ДУ. Как се решават такива, виж ТУК.

[Добромир Глухаров]

Можеш да видиш Видеоурок по Точни ДУ - ТУК.

[Dark Angel]

Благодаря за насоките,
гледах видео урока, гледах въпросното решение и също така си намерих едни много пълни подробни лекции по ДУ. И все пак проблема си остава, като че разбирам всичко и в един момент не се получава това което трябва. Например не ми е ясна особено много каква трябва да бъде проверката за точност.
Ето една задача, която намерих в учебника, сходна е на моята и има даден краен отговор.
[tex](y^{2}-3x^{2}).dy+3xy.dx=0[/tex] отговор: [tex]C=y.e^{\frac{3x^{2}}{2y^{2} }}[/tex]
От това, което схванах честно казано не мога да докарам този резултат. Направо се чувствам особено глупав... от четири дни вече се мъча да ги разбера този тип ДУ.
Отново много благодаря за идеите.

[Добромир Глухаров]

[tex]\mu (x,y)P(x,y)+\mu (x,y)Q(x,y)y'=0[/tex]
За да бъде точно, трябва:
[tex]\frac{\partial (\mu.P)}{\partial y }= \frac{\partial (\mu.Q)}{\partial x }[/tex]
[tex]P(x,y)\frac{\partial (\mu (x,y))}{\partial y }-Q(x,y)\frac{\partial (\mu (x,y))}{\partial x }=\mu (x,y)[Q_x(x,y)-P_y(x,y)][/tex]
a) [tex]\mu (x,y)[/tex] зависи само от [tex]x[/tex]:
[tex]\frac{1}{\mu (x)}\mu '(x)=\frac{1}{Q}(P_y-Q_x)[/tex]
[tex]\mu (x)=C.e^{\int_{}^{ } \frac{1}{Q}(P_y-Q_x)dx}[/tex]
b) [tex]\mu (x,y)[/tex] зависи само от [tex]y[/tex]:
[tex]\mu (y)=C.e^{\int_{}^{ } \frac{1}{P}(Q_x-P_y)dy}[/tex]
c) [tex]\mu (x,y)=\mu (\lambda (x,y))[/tex], където [tex]\lambda (x,y)[/tex] е дадена (известна) функция.
[tex]\frac{1}{\mu (\lambda)}\cdot \frac{\partial \mu}{\partial \lambda}=\frac{Q_x-P_y}{P \lambda_y-Q \lambda_x}[/tex]
Дясната страна е функция само на [tex]\lambda[/tex] - означаваме я с [tex]\gamma (\lambda)[/tex]
[tex]\mu (\lambda)=C.e^{\int_{}^{ } \gamma (\lambda)d \lambda[/tex]

Написах го доста набързо и сигурно не е много ясно. Ако е така, питай.

[Добромир Глухаров]

Условието за точност:
Решението трябва до бъде: [tex]U(x,y)=C[/tex],
Следователно тоталният диференциал на [tex]U(x,y)[/tex] е равен на [tex]0[/tex]:
[tex]\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy=0[/tex]
[tex]P(x,y)=U_x(x,y),\ Q(x,y)=U_y(x,y)[/tex]
[tex]P_y=U_{xy},\ Q_x=U_{yx}[/tex]
но [tex]U_{xy}=U_{yx}[/tex], стига частните производни да са непрекъснати.
[tex]\Rightarrow P_y(x,y)=Q_x(x,y)[/tex]

[Dark Angel]

Май схванах основната идея....
[tex](y^{2}-3x^{2}).dy-2xy.dx=0[/tex][tex]/*y^{2}[/tex]
[tex](y^{4}-3x^{2}y^{2}).y'-2xy^{3}=0[/tex]
[tex]M(x,y) = -2xy^{3}[/tex] [tex]N(x,y) = y^{4}-3x^{2}y^{2}[/tex]
[tex]M_{y} = -6xy^{2}[/tex] [tex]N_{x} = -6xy^{2}[/tex]
[tex]M_{y}=N_{x}[/tex] => уравнението е "точно"

Мисля, че разбрах и как да ги решавам, но ще пробвам утре, че вече е много късно.
И още два последни въпроса.... има ли някакъв критерии за определяне по какво да се умножи, раздели за да се направи дадено уравнение точно. И последният ми въпрос е приложените формули:
[tex]a) \mu (x,y)[/tex]зависи само от x:
[tex]\frac{1}{\mu (x)}\mu '(x)=\frac{1}{Q}(P_y-Q_x)[/tex].....
къде мога да прилагам. Във видео уроците са дадени други начини за решаване. Мисълта ми е дали видео уроците и тези формули са едно и също нещо?
Предварително много благодаря, ще мога да легна спокойно.

[Добромир Глухаров]

Всъщност [tex]\mu(x,y)[/tex] е функцията, по която трябва да се умножи диференциалното уравнение, за да стане точно. (В случая с твоята задача [tex]\mu(x,y)=\mu(y)=y^2[/tex].)
Показал съм как се намира [tex]\mu[/tex] в някои частни случаи.

[Dark Angel]

Благодаря за помощта,
най-накрая разбрах за какво иде реч и успях да реша задачата. Ще я постна тук с подробни обяснения за да е от помощ на потребителите на форума. Тъкмо и една колежка от университета да може да я погледне, че и тя май нещо се е мъчила като мен.
[tex](y^{2}-3x^{2}).dy-2xy.dx=0[/tex] [tex]/*dx[/tex]
[tex](y^{2}-3x^{2})y'-2xy=0[/tex] [tex]/*-1[/tex]
[tex]2xy+(-y^{2}+3x^{2})y'=0[/tex]
Общ вид на точни ДУ:
[tex]P(x,y)+Q(x,y).y'=0[/tex]
За да бъде "точно" дадено уравнение то трябва първата производна на [tex]P_{y}[/tex]спрямо игрек да бъде равна на първата производна на [tex]Q_{x}[/tex] спрямо хикс. Иначе казано деференцираме веднъж едната после другата променлива....
[tex]P_{y}=2xy=2x.(y)'=2x.1=2x[/tex]
[tex]Q_{x}=-y^{2}+3x^{2}=-y^{2}.0+2.3x=0+6x=6x[/tex]
От условието за равенство установяваме, че уравнението ни не е точно. [tex]P_{y}\ne Q_{x}[/tex]
Което ще рече, че трябва да намерим интегриращ диференциал. Всъщност аз както го разбрах... имало е възможност да бъде съкратено нещо от полученото уравнение след диференцирането, съкратено е и ние сега го търсим за да стане уравнението ни пак такова каквото е било.
Което ни довежда тук.... търсим такава фунцкия с която като умножим уравнението то да стане точно.
[tex]h(x,y)P(x,y)+h(x,y)Q(x,y)y'=0[/tex]
Малко по-горе Добромир Глухаров е показал как се намира [tex]h[/tex] иначе казано [tex]\mu[/tex] в някой от частните случаи. Прекръстих я на [tex]h[/tex] за по-лесно писане....
В нашия конкретен случай интегриращия фактор е зависещ от [tex]y[/tex] това е така понеже [tex]P_{y}=2x[/tex] и [tex]Q_{x}=6x[/tex] са зависими от хикс. Което ни отвежда към следната формула пусната от Добромир Глухаров.
[tex]h(y)=C.e^{\int_{}^{ } \frac{1}{P}(Q_x-P_y)dy}[/tex] нека да заместим....
[tex]h(y)=C.e^{\int_{}^{ } \frac{(6x-2x)}{2xy}dy}[/tex] [tex]h(y)=C.e^{\int_{}^{ } \frac{4x}{2xy}dy/:2x}[/tex] [tex]h(y)=C.e^{\int_{}^{ } \frac{2}{y}dy}[/tex] [tex]h(y)=C.e^{2\int_{}^{ } \frac{)}{y}dy}[/tex]
Получаваме [tex]h(y)=C.e^{2.ln(y)}[/tex] след като съкратим експонента с логаритъма и от свойствата на логаритмите получаваме... [tex]h(y)=y^{2}[/tex] Това е функцията по която трябва да умножим за да получим "точно" ДУ.
[tex]y^{2}(2xy)+y^{2}(-y^{2}+3x^{2})y'=0[/tex]
[tex]2xy^{3}+(-y^{4}+3x^{2}y^{2})y'=0[/tex]
Нека отново да направим проверката за да видим за какво беше цялото това писане.
[tex]P_{y}=2xy^{3}=2x.(y^{3})'=2.3x.y^{2}=6xy^{2}[/tex]
[tex]Q_{x}=-y^{4}+(3x^{2})'y^{2}=-y^{4}.0+2.3x.y^{2}=0+6xy^{2}=6xy^{2}[/tex]
Щом [tex]P_{y}=Q_{x}[/tex] следва, че ДУ вече е "точно". В следващата стъпка ще видим как става решаването на уравнението.
Всъщност [tex]P(x,y)[/tex] и [tex]Q(x,y)[/tex] не са нищо друго освен първа производна на дадена функция. Нашата задача е да намерим точно тази функция. Тази функция се намира със следната формула...
[tex]F(x,y)=\int_{}^{ } P(x,y).dx[/tex]
[tex]=\int_{}^{ } 2xy^{3}.dx=x^{2}y^{3}+g(y)[/tex]
[tex]g(y)[/tex] в функция на игрек, която трябва да намерим за да получим окончателното решение на ДУ.
Това става по следният начин.
[tex]F_{y}(x,y)=\int_{}^{ } F+g(y).dy=x^{2}y^{3}+g(y).dy=3x^{2}y^{2}+g'(y)[/tex]
Също така знаем, че [tex]F_{y}(x,y)=Q(x,y)[/tex]
[tex]3x^{2}y^{2}+g'(y)=-y^{4}+3x^{2}y^{2}[/tex]
След като съкратим получаваме че [tex]g'(y)=-y^{4}+C[/tex] след като интегрираме получаваме, че [tex]g(y)=-\frac{y^{5}}{5 }[/tex]
[tex]F(x,y)=x^{2}y^{3}+g(y)=x^{2}y^{3}-\frac{y^{5}}{5 }+C[/tex]
Иначе казано......
[tex]C=x^{2}y^{3}-\frac{y^{5}}{5 }[/tex]
Надявам се да съм се справил добре и задачата да е вярно решена. Това вече ще кажат хората тук, които разбират повече от мен. Пет дни се мъчих да разбера този тип задачи, надявам се че най-накрая съм ги разбрал и ще бъде полезно за тези след мен които ще се опитат да ги разберат.
Проверка за правилно решена задача е диференцирането на полученото уравнение. Производните се записват от страна на [tex]Q_{x}[/tex]