Математическа Индукция

[vanqz11]

Ще съм ви много благодарна ако ми помогнете....Благодаря предварително

[Добромир Глухаров]

Може да се докаже по-силното [tex]1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<2-\frac{1}{n}[/tex]

[tex]1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}<2-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}=2-\frac{n^2+2n+1-n}{n(n+1)^2}<2-\frac{n^2+n}{n(n+1)^2}=2-\frac{1}{n+1}[/tex]

[pal702004]

Индукцията не е най-добрият метод тук. В дясната част само с двойка няма да минем, трябва да напишем нещо от рода:
[tex]<2-\frac 1 n[/tex]. И индукционният преход ще ни доведе до вярното неравенство [tex]\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k-1}-\frac 1 k[/tex]. Само че като имаме това неравенство не ни трябва никаква индукция, сравняваме нашата редица с мажориращата

[tex]\sum_{k=2}^n \quad\frac{1}{k^2}<\sum_{k=2}^n \left(\frac{1}{k-1}-\frac 1 k\right)=1-\frac 1 n[/tex]


Е, Добри ме изпревари