Задача за безкрайно множество

[Гост]

Ако може някой да ми помогне със задача 1 и 2

[aifC]

1)Зад
Нека [tex]A[/tex] e множество и [tex]b \notin A[/tex] , тогава [tex]A[/tex] e безкрайно множество ако [tex]A \twoheadrightarrow A \cup {b}.[/tex]Трябва да покажем че [tex]A \cup {b}[/tex] e със същата размерност като [tex]A[/tex], когато [tex]A[/tex] е безкрайно, тоест търсим биекцията между тях ([tex]A \twoheadrightarrow A \cup {b}[/tex]). Докато [tex]A[/tex] e безкрайно множество има поне един елемент, който наричаме [tex]a_{0}[/tex], но тъй като [tex]A[/tex] е безкрайно има поне два елемента, единият от които не е равен на [tex]a_{0}[/tex], ще го наречем [tex]a_{1}[/tex], но [tex]A[/tex] е безкрайно има поне три елемента, които са различни т.е. [tex]a_{2}[/tex] и т.н. , стигаме до извода че това е една безкрайна поредица [tex]a_{0},a_{1},a_{2}.......,a_{n}[/tex].Вече лесно дефинираме биекция: [tex]e: A \cup {b} \twoheadrightarrow A:[/tex]
[tex]e(b)::=a_{0}, e(a_{n})::=a_{n+1}, e(a)::=a;, n \in \mathbb{N} , a \in A (b,a_{0},a_{1},.....);[/tex]

[aifC]

2)Зад
а) Да допуснем че имаме инволюция , то тогава тя е пермутация и можем да дефинираме биекция.[tex](x,y) \in f[/tex], [tex]f[/tex] е релация [tex]f \subseteq S \times S \Rightarrow f(x) = y ; \Rightarrow f(f(x)) = f(y);[/tex], тогава [tex]a = b \Rightarrow f(a) = f(b); \Rightarrow x = f(y); \Rightarrow f[/tex] е инволюция.

б) Ако [tex]f^{-1} = f[/tex],то трябва да проверим [tex]f(f(x)) = x, \forall x[/tex] в ДМ на [tex]f[/tex].За правоъгълен триъгълник с катети [tex]x,y[/tex] изразяваме [tex]P = S[/tex] с уравнението : [tex]x+y+\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \frac{1}{2}xy;[/tex], това води до инволюцията : [tex]y = \frac{4x-8}{x-4} = 4 + \frac{8}{x-4}[/tex] , в случей на целочислено решение , разглеждаме [tex](x-4) ,8[/tex] и проверяваме [tex]x-4=2^{k},k = 0,1,2,3[/tex], решения ще имаме в [tex](5,12), (6,8)[/tex], но от симетрията на инволюцията ще имаме решение и в [tex](12,5),(8,6)[/tex].
Друг добър пример от теория на кодирането е : [tex]x \rightarrow -log(tgh(\frac{x}{2}))[/tex] или втори пример:[tex]f(x): y=2-x; f^{-1}(x): x = 2-y \Rightarrow x-2=-y \Rightarrow y = 2-x;[/tex]

в) Доказателство в обратна посока на б)

г) [tex]\forall a,b \in S, a~b[/tex] тогава и само тогава, когато [tex]b = a, b = f(a);[/tex]ще казваме че [tex]C_{a}[/tex] е еквивалентен клас на елементите [tex]a \in S \Rightarrow C_{a} = (a, f(a))[/tex] ако [tex]a \in S\S'[/tex] и [tex]C_{a} = (a), a \in S' \Rightarrow[/tex]

[tex]|S| = \sum_{a \in S}|C_{a}|= \sum_{a \in S \setminus S' }|C_{a}|+\sum_{a \in S' }|C_{a}|= \sum_{a \in S \setminus S' }|C_{a}|+|S'| \Rightarrow[/tex]

[tex]|C_{a} \equiv 0 (mod 2) \forall a \in S \setminus S' \Rightarrow |S| \equiv |S'|(mod 2);[/tex]