Мощност на множество.

[Гост]

Да се намери мощността на множеството от всички крайни редици от естествени числа.
Смятам, че са изброимо много дори?

Каква е мощността от всички безкрайни редици от реални числа?
Тук със сигурност ще трябва да е равномощно с R, но отново не мога да докажа.

[Петър Евгениев]

Има очевидна биекция между множеството от всички крайни редици и $\bigcup_{k=1}^{\infty} \mathbb{N}^{k}.$ Сега лесно се вижда,че $||\bigcup_{k=1}^{\infty}\mathbb{N}^{k}|| = || \mathbb{N} ||.$
Ето един начин да покажем двете неща, които ни ще ползваме: 1.) $\mathbb{N}^{k}$ е изброимо.
Това , очевидно, но все пак понеже $\mathbb{N}$ е изброимо , нека сме го наредили в редичка , примерно така $\{1,2,3,\ldots \} = \mathbb{N}.$
Сега понеже $\mathbb{N}^{k} = (\mathbb{N},\ldots, \mathbb{N})=(\mathbb{N},0,\ldots,0) \cup (0,\mathbb{N},0,\ldots, 0) \cup \ldots \cup (0,\ldots,0,\mathbb{N})=\bigcup_{i=1}^{k}N_{i},$ тук $N_{i}=(0,\ldots,0,\mathbb{N},0,\ldots,0 ).$
Всяко от тези $N_{i} \simeq \mathbb{N}.$ Очевидно.
Та, ако сме изброили $N_{i} = \{n_{1}^{i}\ldots, n_{l}^{i},\ldots \}$ сега е много лесно да изброим обединението им просто като , например ще ги изредим всички тези $N_{i} , 1\leq i \leq k$ и напишем по редове в една матрица с $k$ реда и безкрайно много стълба. И тази матрица ще "обходим" по стълбовете - тривиални неща.
Та $\mathbb{N}^{k}$ е изброимо.
За изброимостта на изброимо обединение на изброимо много множества. В случая $\bigcup_{k=1}^{\infty}\mathbb{N}^{k}$ ще изброим всяко от множествата в обединението и ще ги напишем в една безкрайна матрица. Тази матрица , обаче вече има безкрайно много редове и безкрайно много стълбове и няма да можем да обходим по стълбове както беше с крайното обединение на изброими множества. Този път може, например да я обходим по диагонали. Или по квадрати... или по правоъгълници.
Нека сме изброили за всяко $k \in \mathbb{N}, $ множеството $\mathbb{N}^{k}=\{ b_{1}^{k},b_{2}^{k},\ldots, b_{l}^{k},\ldots \}.$
Тогава в матрицата като наредими (нареждаме матрицата по изброяванията на $\mathbb{N}, \mathbb{N}^{2},\ldots, \mathbb{N}^{k},\ldots, $ по редове:
$$\begin{pmatrix}
b_{1}^{1}& b_{2}^{1}& b_{3}^{1}& \ldots& b_{l}^{1}& \ldots \\
b_{1}^{2}& b_{2}^{2}& b_{3}^{2}& \ldots& b_{l}^{2}& \ldots \\
b_{1}^{3}& b_{2}^{3}& b_{3}^{3}& \ldots& b_{l}^{3}& \ldots \\
\vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots \\
b_{1}^{k}& b_{2}^{k}& b_{3}^{k}& \ldots& b_{l}^{k}& \ldots \\
\vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots \\
\end{pmatrix}.
$$
Е сега по диагонали изброяването на $$\bigcup_{k=1}^{\infty}\mathbb{N}^{k} = \{ b_{1}^{1}; b_{1}^{2}, b_{2}^{1}; b_{1}^{3},b_{2}^{2},b_{3}^{1}; ,\ldots \}.$$
Вижда се лесно, че сумата на горния и долния индекс - по нея ги изреждаме и това е.