Домашна работа- моля за помощ

[Гост]

1. На рафт в библиотека са разположени 10 екземпляра от една и съща книга и още 10 други, различни помежду си (както и от книгата в 10 екземпляра) книги. По колко начина могат да бъдат избрани 10 книги?

[Румен Симеонов]

Това е само помощ за намиране на решение, а не е решение.

За съжаление, биха могли да бъдат разумно обосновани различни отговори на задачата, в зависимост от смисъла, в който ще възприемем думите и изразите ,,екземпляр/и от една и съща книга", ,,книга", ,,книги", ,,начин на избор на 10 книги". Според речниците, съществуват различни смисли, в които биха могли да бъдат употреебени тези думи и изрази. Затова на първо място трябва да отгатнем в какъв смисъл е употребен/а в условието на задачата всяка/всеки от тези думи и изрази. Един ,,начин" на избор на 10 книги би могъл да се различава от друг такъв според инструкциите, които се съдържат в него, доколкото ,,начинът" на избор би трябвало да се състои от набор от инструкции - съставляващи програма/алгоритъм за избор. Обаче, макар и най-правилно това възприемане е малко и даже почти никак вероятно да се е имало предвид в условието на задачата. Най-вероятно различните набори от инструкции се приравняват един на друг, ако водат до един и същ ,,резултат от извършен избор на 10 книги (очевидно избирайки измежду тези на рафта)". Но пък възниква въпроса какъв е смисълът на понятието ,,10 избрани книги от един рафт с 10 екземпляра на една книга и други 10 книги" и кога две възможни избрани десятки книги ще са различен резултат от извършен избор. Малко вероятно е да се има предвид различаване на резултата според поредността на вземане една по една на 10 книги от рафта, освен според това кои 10 книги ще бъдат взети. Остава да възприемем, че две десятки ще се считат и броят за различни според състава на 10-те книги участващи във всяка от десяткита, а не според поредността на вземането им от рафта, също не и според броя екземпляри, с които ще е представена в резултата всяка идна от избраните книги.. Даже ще приемем, че ако е била избрана включително и първата книга то това е станало чрез вземане на само един от нейните екземпляри. Впрочем, приемам че "изборът" на книги от рафта става чрез тяхното ,,вземане" от рафта, а не чрез съставяне на списък от книги, които да се считат избрани, което би било по-правилно, но едва ли се е имало предвид. Понеже е направена разлика между думите ,,екземпляр" (от книга) и ,,книга" приемам, че на рафта има 11 различни книги, въпреки, че не е изключено и не е съвсем неразумно и неправилно, според речниците, и всеки екземпляр от книга да се възприема като отделна книга, при което щом са 10 на брой екземпляра значи те се различават по нещо (напримир, по индивидууалните молекули съдържащи се във всеки отделен екземпляр) един от друг, а общия брой ,,книги" на рафта би се оказал 20, а не 11. При така възприетото условие на задачата няма да се брои за различие в начина на избор изборът на които и да е от 10-те екзземпляра от първата книга. Следователно, всеки два резултата от избора на 10 книги ще се различават един от друг само по тази от 11-те книги, която (всъщност ,,от която") не е влязла (не е влязъл екземпляр от която) в конкретния резултат от избор на 10 книги. Т.е., възможните начини по брой са равни на броя на възможните начини да се избере 1-на измежду 11 книги, а той, очевидно е 11. Ако обаче, различните екземпляри придават различие на избора,, което съвсем не е изключено да се е имало предвид в условието, то тогава, при участие на първата книга в резултата от избор на 10 книги, тя би могла да е иззбрана по 10 различни начина, а останалити 9 сред другите 10 - биха могли да бъдат избрани, като комбинация, по 10 различни начина (броим възможностите коя ще се окаже неизбрана). Така комбинирани различните резултати с участие на първата книга биха били на брой 10.10=100 и като се добави бройката 1 на възможен избор на 10 без участие на първата книга отговорът би бил 101, при такова възприемане на условиито на задачата. Считам, обаче, че задачата е нечестна спрямо ученика, защото е издевателство ученикът да бъде принуждаван и приучаван/приучван да гадае какъв е смисъла на задачата преди да се заеме с нейното решаване и решението и отговорът да зависят от резултата от гадаенето - отгатване или не на смисъла на задачата, според този който я е задал и ще оценява решението й - учителят, обикновено.

[pal702004]

$2^{10}$

[Румен Симеонов]

$2^{10}$

[tex]2^{10 }[/tex] са възможните избори, когато съставният избор предюставлява поредица от 10 елементарни избора на 1-на от 2 възвожности. Не виждам такива тук, дори когато условието се осмисли като запитване за брой съставни избори осъществими чрез списък от 10 поредни елементарни избора на 1 книга от оставащите книги, в който случай отговорът би бил 11.10.....2 =(11!), ако различните екземпляри от първата книга се броят за представители на една и съща книга и, съответно, ако след избора на един такъв екземпляр вече не се допуска отново да бъде избиран такъв екземпляр, защото с първоизбрания такъв екземпляр първата книга е вече избрана и повторният ѝ избор не би бил последващ избор ,,на една от останалите книги" Моля обосновете се, как разбирате условието и, съответно, как стигате до Вашия отговор.

[grav]

$2^{10}$

[tex]2^{10 }[/tex] са възможните избори, когато съставният избор предюставлява поредица от 10 елементарни избора на 1-на от 2 възвожности. Не виждам такива тук, дори когато условието се осмисли като запитване за брой съставни избори осъществими чрез списък от 10 поредни елементарни избора на 1 книга от оставащите книги, в който случай отговорът би бил 11.10.....2 =(11!), ако различните екземпляри от първата книга се броят за представители на една и съща книга и, съответно, ако след избора на един такъв екземпляр вече не се допуска отново да бъде избиран такъв екземпляр, защото с първоизбрания такъв екземпляр първата книга е вече избрана и повторният ѝ избор не би бил последващ избор ,,на една от останалите книги" Моля обосновете се, как разбирате условието и, съответно, как стигате до Вашия отговор.

[tex]{10 \choose 0}+{10 \choose 1}+{10 \choose 2}+\cdots+{10 \choose 10}[/tex]

[Румен Симеонов]

[tex]{10 \choose 0}+{10 \choose 1}+{10 \choose 2}+\cdots+{10 \choose 10}[/tex]

Приемам, че стреляте напосоки и затова не отговаряте на поставените въпроси. Сумата, която сте изписал е равна на $2^{10}$, като всяко събираемо [tex]{10 \choose k}[/tex] представлява, според Вас, брой на възможните избори на 10 книги, сред коитос $k$ са различни от първата, и, очевидно, считате, че два съставни избора (,,начина на избор") се различават един от друг само според състава на попадналите в тях $k$ на брой книги различни от първата, като винаги приемате, че той е допълнен с оставащия до $10$ брой $10-k$ екземпляри от първата книга, броени обаче за различни книги. Значи си представяте 10 стъпки на "сваляне" на книжно тяло (екземпляр, а не книга- книгите са 11, екземплярите са 20) от рафта, като считате, че няма значение поредността на избраните книги (тук съм съгласен), и нямало значение кои $10-k$ екземпляра от първата книга са избрани, а единствено имало значение кое подмножиство с $k$ книги различни от първата е избрано, $k=0,...,10$. Значи приемате, че на рафта има 20 книги (а те по условие са 1+10), а и приемате, че нямало значение кои от $10-k$ екземпляра от първата книга са свалени от рафта. С това 1 път приравнявате $10-k$ екземплярите на 1-на и съща ,,книга" като броите само избраните подмножества на множеството от $10$ книги с по един екземпляр, но пък после броите ,,свалените" екземпляри за различни ,,книги" , за да ви излезе бройката $10$ на ,,свалените " т.е. -избраните книги, а не по-малка. Не е коректно в едно решение един път екземплярите да се считат за отделни книги различни помежду си, а друг път да се приравняват (като не се поставя множител [tex]{10 \choose 10-k}[/tex] пред [tex]{10 \choose k}[/tex]) и да се считат, че са една книга, като на практика всеки от изборите на $10$ книги, можело да съдържа и по-малко от $10$ различни книги. Второто е правилното, предвид, че в условието се говори за 1+10 книги, прави се разлика между книга и екземпляр и се търсалят възможните избори на 10 ,,книги", а не се търси броят на получилите се възможни камплекти от по по-малко или равно на 10 различни книги след съответен избор на 10 (от 20) екземпляра(!) от книги. А бе кво да спорим - няма обективна почва за разрешаване на спор, защото задачата, както изясних, е некоректно поставена, а и предвидих, че ще се започнат едни спорове по различни начини на възприемане на смисъла на условието на задачата. Накратко, вие броите комплекти, в някои, от които има и по-малко от 10 книги (макар от едната понякога и да има и повечко екземпляри), а в задачата се иска да се преброят комплекти от по 10 избрани ,,книги" (а не от по 10 екземпляри на книги, считайки ги за еднакви, даже считайки ги за съвпадащи, като компплекти, ако имат един и същ състав от различни книги, като книги, а не като екземпляри, макар и конкретния състав на физически екземпляри от първата книга да е възможно и да е различен).

[grav]

.

Може би това durvenafilosofia.bg е по-подходящ форум за теб.

[Румен Симеонов]

.

Може би това durvenafilosofia.bg е по-подходящ форум за теб.

Не ти отива на годините да се държиш така ашлашки, освен че не си прав! Но явно толкова и такова ти е възпитанието, а и акъла, което не е мой проблем, засега.

[grav]

Не ти отива на годините да се държиш така ашлашки, освен че не си прав! Но явно толкова и такова ти е възпитанието, а и акъла, което не е мой проблем, засега.

Е хайде сега! Виж какви дълги постове пишеш, в който само философстваш какво означавали думите!

[peyo]

1. На рафт в библиотека са разположени 10 екземпляра от една и съща книга и още 10 други, различни помежду си (както и от книгата в 10 екземпляра) книги. По колко начина могат да бъдат избрани 10 книги?

Да предположим, че подредбата на избраните 10 книги има значение.

Да означим 10-те различни книги с цифрите от 0 до 9 , а 10-те еднакви с буквата А. Един избор е например:
14А57А2ААА

И сега имаме краен брой възможности за броят на А в избраните 10.

0 на брой А: възможностите са:
10!
1 на брой А: възможностите са:
10 * (10*9*8*7*6*5*4*3*2) = 10*10! = [tex]{10 \choose 1}[/tex] [tex]\frac{10!}{1!}[/tex]
2 на брой А: възможностите са:
((10*9)/2) * (10*9*8*7*6*5*4*3) = [tex]{10 \choose 2}[/tex] [tex]\frac{10!}{2!}[/tex]
3 на брой А: възможностите са:
((10*9*8)/(3*2*1)) * (10*9*8*7*6*5*4) = [tex]{10 \choose 3}[/tex] [tex]\frac{10!}{3!}[/tex]
...
9 на брой А: възможностите са:
((10*9*8*7*6*5*4*3*2)/(9*8*7*6*5*4*3*2*1)) * 10 = [tex]{10 \choose 9}[/tex] [tex]\frac{10!}{9!}[/tex]
10 на брой А: възможностите са:
10!/10!

И крайния отговор просто събиране 11-те случая (по дефиниция 0!=1):

[tex]К = \sum_{i=0}^{10 }{10 \choose i} \frac{10!}{i!}[/tex]

Да видим колко точно е това?:
In [158]: sum( [ math.comb(10,i)*math.factorial(10)/math.factorial(i) for i in range(11)])
Out[158]: 234662231.0

И сега един сериозен въпрос, този отговор верен ли е? Можем да го проверим ако направим всички 10 извадки от 20-те книги и преброим уникалните? Броя на тези пермутации е 20*19*18*17*16*15*14*13*12*11 = 67,044,2572,800

Това е повече отколкото моя компютър може да направи за някакво разумно време (аз съм склонен да чакам не повечче от 5 минути обикновено). Моя компютър се оказа, че може да преброи най-много за 7 книги. Според формулата :

In [168]: sum( [ math.comb(7,i)*math.factorial(7)/math.factorial(i) for i in range(7+1)])
Out[168]: 130922.0

И сега да ги преброим и на ръка за проверка:

Код: Избери целия код

from itertools import permutations
A = "A"
s = set()
for p in permutations([0,1,2,3,4,5,6, A,A,A,A,A,A,A,], 7):
   s.add(tuple(p))
print(len(s))

130922

Имаме точно съответствие, значи 234662231 е най-вероятно верния отговор.

[Румен Симеонов]

Не ти отива на годините да се държиш така ашлашки, освен че не си прав! Но явно толкова и такова ти е възпитанието, а и акъла, което не е мой проблем, засега.

Е хайде сега! Виж какви дълги постове пишеш, в който само философстваш какво означавали думите!

Явно на теб думите ти пречат, особено когато правят разлика между книга и екземпляр. Не знам, намери си и си решавай задачи, в които не е важно значението на думите. Не мога да помогна. Моля повече не ме коментиай и квалифицирай лично. Коментирай, ако искаш, какво броиш - кога и по какво се различават два ,,начина'" на избор на 10 книги и кога за теб екземплярът е различна книга и кога не е, и защо един път така, а друг път иначе. Ако не беше дал само отговор без никаква обосновка явно предполагайки, че не знам, че сумата от биномните коефициенти е $2^n$ нямаше да пиша толкова дълъг пост в отговор на твоя кратичък пост. Впрочем, не съм и длъжен да ти кoментирам отговорите, направих го защото ми беше жал за учениците. Но ми писна вече от твоето хитреене и неоправдана надменност. Има и пазари и стадиони за надвикване без думи. Аааа, виждам, че и Пеьо се е включил - с нещо много по-разумно от твоя отказ да се интересуваш от смисъла на думите. Той е приел, че не е излишно да се разгледа какъв би бил отговорът, ако думите от условието биха се осмислили и като търсене на брой ,,начини" на избор, всеки от които начини държи отчет и за поредността на последователните елементарни избори по на една книга, каквато възможност и аз бях допуснал. Така че, Пеьо, за разлика от теб, добре разбира колко важно е да уточним какво значат в тази задача думите, добре де - израза от думи: ,,начин на избор на 10 книги"!

[grav]

Явно на теб думите ти пречат, особено когато правят разлика между книга и екземпляр. Не знам, намери си и си решавай задачи, в които не е важно значението на думите. Не мога да помогна. Моля повече не ме коментиай и квалифицирай лично. Коментирай, ако искаш, какво броиш - кога и по какво се различават два ,,начина'" на избор на 10 книги и кога за теб екземплярът е различна книга и кога не е, и защо един път така, а друг път иначе. Ако не беше дал само отговор без никаква обосновка явно предполагайки, че не знам, че сумата от биномните коефициенти е $2^n$ нямаше да пиша толкова дълъг пост в отговор на твоя кратичък пост. Впрочем, не съм и длъжен да ти кoментирам отговорите, направих го защото ми беше жал за учениците. Но ми писна вече от твоето хитреене и неоправдана надменност. Има и пазари и стадиони за надвикване без думи. Аааа, виждам, че и Пеьо се е включил - с нещо много по-разумно от твоя отказ да се интересуваш от смисъла на думите. Той е приел, че не е излишно да се разгледа какъв би бил отговорът, ако думите от условието биха се осмислили и като търсене на ,,начини" на избор, държейки отчет и за поредността на последователните избори, каквато възможност и аз бях допуснал.. Така че, Пеьо, за разлиика от теб, добре разбира колко важно е да уточним какво значи в тази задача ,,начин на избор на 10 книги"!

Ако условието е неясно или нееднозначно, обикновенно харата питат за уточнение, а не пишат два чаршафа прани умозрителни разсъждения.

[Румен Симеонов]

Ако условието е неясно или нееднозначно, обикновенно харата питат за уточнение, а не пишат два чаршафа прани умозрителни разсъждения.

Е, проблясъци, вече използваш думи и разсъждения за смисъла на думите в условието. Но ти не попита за уточнение, а направо даде отговор и нито веднъж не се изрази в условна форма, както постъпи Пеьо. Значи за теб условието е ясно и еднозначно. Следва ли от тук, според твоята умозаключителна системка, че ти не си от ,,хората".А за мен, приеми, че съм от хората, но не извършвам, това, което според теб хората обикновено извършват. Можеш да питаш, ако имаш неясноти, Гост, ако успееш да се свържеш с него и ако все още е тук или пък го помоли той да попита учителя си или този, който му е дал задачата и после да ни каже какво са му отговорили.А ако всичко ти е ясно в условието и продължавш да поддържаш твоя отговор, можеш да поспориш и с Пеьо, а не само с мен.

[grav]

Е, проблясъци, вече използваш думи и разсъждения за смисъла на думите в условието. Но ти не попита за уточнение, а направо даде отговор и нито веднъж не се изрази в условна форма, както постъпи Пеьо. Значи за теб условието е ясно и еднозначно. Следва ли от тук, според твоята умозаключителна системка, че ти не си от ,,хората".А за мен, приеми, че съм от хората, но не извършвам, това, което според теб хората обикновено извършват. Можеш да питаш, ако имаш неясноти, Гост, ако успееш да се свържеш с него и ако все още е тук или пък го помоли той да попита учителя си или този, който му е дал задачата и после да ни каже какво са му отговорили.А ако всичко ти е ясно в условието и продължавш да поддържаш твоя отговор, можеш да поспориш и с Пеьо, а не само с мен.

Май не внимаваш, не бях аз този, който даде отговора!

[Румен Симеонов]

quote="Гост"1. На рафт в библиотека са разположени 10 екземпляра от една и съща книга и още 10 други, различни помежду си (както и от книгата в 10 екземпляра) книги. По колко начина могат да бъдат избрани 10 книги? /quote.

Да предположим, че подредбата на избраните 10 книги има значение.

Да означим 10-те различни книги с цифрите от 0 до 9 , а 10-те еднакви с буквата А. Един избор е например:
14А57А2ААА

И сега имаме краен брой възможности за броят на А в избраните 10.

0 на брой А: възможностите са:
10!
1 на брой А: възможностите са:
10 * (10*9*8*7*6*5*4*3*2) = 10*10! = [tex]{10 \choose 1}[/tex] [tex]\frac{10!}{1!}[/tex]
2 на брой А: възможностите са:
((10*9)/2) * (10*9*8*7*6*5*4*3) = [tex]{10 \choose 2}[/tex] [tex]\frac{10!}{2!}[/tex]
3 на брой А: възможностите са:
((10*9*8)/(3*2*1)) * (10*9*8*7*6*5*4) = [tex]{10 \choose 3}[/tex] [tex]\frac{10!}{3!}[/tex]
...
9 на брой А: възможностите са:
((10*9*8*7*6*5*4*3*2)/(9*8*7*6*5*4*3*2*1)) * 10 = [tex]{10 \choose 9}[/tex] [tex]\frac{10!}{9!}[/tex]
10 на брой А: възможностите са:
10!/10!

И крайния отговор просто събиране 11-те случая (по дефиниция 0!=1):

[tex]К = \sum_{i=0}^{10 }{10 \choose i} \frac{10!}{i!}[/tex]

Да видим колко точно е това?:
In [158]: sum( [ math.comb(10,i)*math.factorial(10)/math.factorial(i) for i in range(11)])
Out[158]: 234662231.0

И сега един сериозен въпрос, този отговор верен ли е? Можем да го проверим ако направим всички 10 извадки от 20-те книги и преброим уникалните? Броя на тези пермутации е 20*19*18*17*16*15*14*13*12*11 = 67,044,2572,800

Това е повече отколкото моя компютър може да направи за някакво разумно време (аз съм склонен да чакам не повечче от 5 минути обикновено). Моя компютър се оказа, че може да преброи най-много за 7 книги. Според формулата :

In [168]: sum( [ math.comb(7,i)*math.factorial(7)/math.factorial(i) for i in range(7+1)])
Out[168]: 130922.0

И сега да ги преброим и на ръка за проверка:

Код: Избери целия код

from itertools import permutations
A = "A"
s = set()
for p in permutations([0,1,2,3,4,5,6, A,A,A,A,A,A,A,], 7):
   s.add(tuple(p))
print(len(s))

130922

Имаме точно съответствие, значи 234662231 е най-вероятно верния отговор.

Добре би било да указваш на кой език са ти програмките, макар, че не е невъзможно да се досетим или открием. По повод сериозния въпрос. Имаш едно потвърждение от моя страна: На моя андроидски телефон на калкулаторчето му му подадох израза $(10!÷0!)^2÷10!+(10!÷1!)^2÷9!+(10!÷2!)^2÷8!+(10!÷3!)^2÷7!+(10!÷4!)^2÷6!+(10!÷5!)^2÷5!+(10!÷6!)^2÷4!+(10!÷7!)^2÷3!+(10!÷8!)^2÷2!+(10!÷9!)^2÷1!+(10!÷10!)^2÷0!$ и то ми изведе/,,върна" като резултат това което и ти си получил: 234662231. Сега, по отношение вероятността верният отговор да е 234662231. На поставената задача, така както е поставена, не считам, че има верен отговор, защото тя е некоректно поставена - ня е ясно уточнено какво множество от ,,начини" за избор трябва да се преброи. Твоето кодиране на изборите с 10 елементни низове от 11-ични цифри 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А (впрочем от тук следва че твоят отговор е решение и на интересната задачка измислена от мен: намерете броя на естествените числа, чиито запис в 11-ична бройна система е низ от 11 на брой 11-ични цифри, който започва с цифрата 1, а сред остааналите 10 на брой 11-ични цифри няма нито една 10 ична цифра, която да учавства повеч от 1 път, ако въобще участва. Отговор:: 234662231=137.223.7681) в които низове само на цифрата A е позволено евентуално да участва повече от 1 път,освен, че представлява кодиране на множеството от ,,начините" представлява и уточнение на условието на задачата, което я прави вече коректно поставена задача. Всъщност изглежда освен уточнение правиш и неизбежно и леко изменение на задачата, за да стане тя коректно поставена Не е лошо да ни запишеш в изчистен вид новополучената интересна коректно поставена задача, която решши перфектно. Ще стане ясно, че под начин на избор на 10 книги (от представените на рафта, където 1 е представена с 10 екземпляра, а 10 други са представени с по 1 екземпляр) разбираш иинструкции за 10 поредни избора на по една от 11 от представени на рафта книги, който избор на 1 книга всеки път задължително да става чрез посочване на една от пълните групи от екземпляри на една и съща книга (едната група се състои от 10 екземпляра, а другите 10 се състоят от по 1 екземпляр), при кооето всяка книга от представените с по 1 екземпляр има право да бъде посочена не повече от 1 път. Точно такива съставни 10 кратни избори с зависимост на ввъзмогностите за всеки следващ от предишно направените избори еднозначнио се кодират с твоите низове от 10 на брой 11-ични цифри 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A в който низове само на цифрата A е разрешено евентуално да участва повече от 1 път. Иначе казано, ти кодираш съставни ,,избори" на 10 стъпки, на всяка от която се извършва избор на една книга, които пореден избор на книга, обаче, се осъществява чрез изтегляне (и сваляне т.е. - без връщане) на един от наличните на рафта към момента екземпляри на книги. Мислейки си че трябвва да се ограничим само с детерминистични алгоритми на избор, предлагам да се измени и твоето тълкуване на задачата, при което. на всяка стъпка в която на изпълнителя му е казано да свали А-екземплар да му се казва и кой по ред отляво надясно на рафта от А екземплярите трябва да свали. Твоето решение ще остане валидно само за задачата в която се броят само избори при които поредния номер отляво надясно на А-екзимпляр е винаги 1-цо, т.е. - 1-ви А-икземплар. При моето предложение, за тълкуване на условиито изборите ще се кодират с по-сложни низове, в които буквата A ще участва със съответен индекс, от 1 до 10, чиито възможности за избор ще се ограничават на всяка стъпка от съставния 10 стъпков избор, при което, обаче, накрая, на базата на низа с индекси ще се съставя и придпужаващ го низ биз индекси отразяващ резултативен избор на 10 книги чрез 10 стъпков детерминистичен избор на 10 екземпляра от книги. При такова тълкуване на условието на задачага отговорът ще е $20.19.18.17.16.15.14.13.12.11=(20!)/(10!)= 670442572800=2^{10}.3^4.5^2.7.11.13.17.19$за броят на ,,начините" за избор на 10 книги от представените на рафта чрез точно определено за всеки начин поредица от 10 сваляния от рафта на по 1 екземпляр, макар че резулатите от тези избори отново ще бъдат комплекти от по до 10, не винаги 10, избрани книги, които резултати от изпълнение на начини ще са $2^{10}$ на брой. като комплекти без подредба и без повторения. Ако при моето допълнително изменено тълкуване накрая пуснем цифрите от получилия се резултативен низ в една прозрачна наелонова торбичка като от цифрите А пуснем само по максимум 1 брой, то при такова кодиране на ,,начините" от условиието, отговорът на зодачата пак ще е (20!)/(10!) въпреки, че броят на възможноте състави на торбичките придружаващи моя низ с индексирани А ще бъде само $2^{10}$. Съответно и твоят отговор би си останал същия ако придружим твоя низ с неиндексирани А със съответна резултираща торбичка, с каквато торбичка придружаваме и моите низове с индиксирани А. Ако обаче, от така заформилите се по-сложни кодирания чрез низове (твои или мои) придружени с торбички отхвърлим низовете и оставим само трбичките, то при такова тълкуване и кодиране но ,,начините" от условието на задачата отговорътт ще е $2^{10}$, както претендират тук някои други членове на форума.

[Румен Симеонов]

quote="Гост"1. На рафт в библиотека са разположени 10 екземпляра от една и съща книга и още 10 други, различни помежду си (както и от книгата в 10 екземпляра) книги. По колко начина могат да бъдат избрани 10 книги? /quote.

Да предположим, че подредбата на избраните 10 книги има значение.

Да означим 10-те различни книги с цифрите от 0 до 9 , а 10-те еднакви с буквата А. Един избор е например:
14А57А2ААА

И сега имаме краен брой възможности за броят на А в избраните 10.

0 на брой А: възможностите са:
10!
1 на брой А: възможностите са:
10 * (10*9*8*7*6*5*4*3*2) = 10*10! = [tex]{10 \choose 1}[/tex] [tex]\frac{10!}{1!}[/tex]
2 на брой А: възможностите са:
((10*9)/2) * (10*9*8*7*6*5*4*3) = [tex]{10 \choose 2}[/tex] [tex]\frac{10!}{2!}[/tex]
3 на брой А: възможностите са:
((10*9*8)/(3*2*1)) * (10*9*8*7*6*5*4) = [tex]{10 \choose 3}[/tex] [tex]\frac{10!}{3!}[/tex]
...
9 на брой А: възможностите са:
((10*9*8*7*6*5*4*3*2)/(9*8*7*6*5*4*3*2*1)) * 10 = [tex]{10 \choose 9}[/tex] [tex]\frac{10!}{9!}[/tex]
10 на брой А: възможностите са:
10!/10!

И крайния отговор просто събиране 11-те случая (по дефиниция 0!=1):

[tex]К = \sum_{i=0}^{10 }{10 \choose i} \frac{10!}{i!}[/tex]

Да видим колко точно е това?:
In [158]: sum( [ math.comb(10,i)*math.factorial(10)/math.factorial(i) for i in range(11)])
Out[158]: 234662231.0

И сега един сериозен въпрос, този отговор верен ли е? Можем да го проверим ако направим всички 10 извадки от 20-те книги и преброим уникалните? Броя на тези пермутации е 20*19*18*17*16*15*14*13*12*11 = 67,044,2572,800

Това е повече отколкото моя компютър може да направи за някакво разумно време (аз съм склонен да чакам не повечче от 5 минути обикновено). Моя компютър се оказа, че може да преброи най-много за 7 книги. Според формулата :

In [168]: sum( [ math.comb(7,i)*math.factorial(7)/math.factorial(i) for i in range(7+1)])
Out[168]: 130922.0

И сега да ги преброим и на ръка за проверка:

Код: Избери целия код

from itertools import permutations
A = "A"
s = set()
for p in permutations([0,1,2,3,4,5,6, A,A,A,A,A,A,A,], 7):
   s.add(tuple(p))
print(len(s))

130922

Имаме точно съответствие, значи 234662231 е най-вероятно верния отговор.

Добре би било да указваш на кой език са ти програмките, макар, че не е невъзможно да се досетим или открием. По повод сериозния въпрос. Имаш едно потвърждение от моя страна: На моя андроидски телефон на калкулаторчето му му подадох израза $(10!÷0!)^2÷10!+(10!÷1!)^2÷9!+(10!÷2!)^2÷8!+(10!÷3!)^2÷7!+(10!÷4!)^2÷6!+(10!÷5!)^2÷5!+(10!÷6!)^2÷4!+(10!÷7!)^2÷3!+(10!÷8!)^2÷2!+(10!÷9!)^2÷1!+(10!÷10!)^2÷0!$ и то ми изведе/,,върна" като резултат това което и ти си получил: 234662231. Сега, по отношение вероятността верният отговор да е 234662231. На поставената задача, така както е поставена, не считам, че има верен отговор, защото тя е некоректно поставена - ня е ясно уточнено какво множество от ,,начини" за избор трябва да се преброи. Твоето кодиране на изборите с 10 елементни низове от 11-ични цифри 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А (впрочем от тук следва че твоят отговор е решение и на интересната задачка измислена от мен: намерете броя на естествените числа, чиито запис в 11-ична бройна система е низ от 11 на брой 11-ични цифри, който започва с цифрата 1, а сред остааналите 10 на брой 11-ични цифри няма нито една 10 ична цифра, която да учавства повеч от 1 път, ако въобще участва. Отговор:: 234662231=137.223.7681) в които низове само на цифрата A е позволено евентуално да участва повече от 1 път,освен, че представлява кодиране на множеството от ,,начините" представлява и уточнение на условието на задачата, което я прави вече коректно поставена задача. Всъщност изглежда освен уточнение правиш и неизбежно и леко изменение на задачата, за да стане тя коректно поставена Не е лошо да ни запишеш в изчистен вид новополучената интересна коректно поставена задача, която решши перфектно. Ще стане ясно, че под начин на избор на 10 книги (от представените на рафта, където 1 е представена с 10 екземпляра, а 10 други са представени с по 1 екземпляр) разбираш иинструкции за 10 поредни избора на по една от 11 от представени на рафта книги, който избор на 1 книга всеки път задължително да става чрез посочване на една от пълните групи от екземпляри на една и съща книга (едната група се състои от 10 екземпляра, а другите 10 се състоят от по 1 екземпляр), при кооето всяка книга от представените с по 1 екземпляр има право да бъде посочена не повече от 1 път. Точно такива съставни 10 кратни избори с зависимост на ввъзмогностите за всеки следващ от предишно направените избори еднозначнио се кодират с твоите низове от 10 на брой 11-ични цифри 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A в който низове само на цифрата A е разрешено евентуално да участва повече от 1 път. Иначе казано, ти кодираш съставни ,,избори" на 10 стъпки, на всяка от която се извършва избор на една книга, които пореден избор на книга, обаче, се осъществява чрез изтегляне (и сваляне т.е. - без връщане) на един от наличните на рафта към момента екземпляри на книги. Мислейки си че трябвва да се ограничим само с детерминистични алгоритми на избор, предлагам да се измени и твоето тълкуване на задачата, при което. на всяка стъпка в която на изпълнителя му е казано да свали А-екземплар да му се казва и кой по ред отляво надясно на рафта от А екземплярите трябва да свали. Твоето решение ще остане валидно само за задачата в която се броят само избори при които поредния номер отляво надясно на А-екзимпляр е винаги 1-ца, т.е. - 1-ви А-икземплар. При моето предложение, за тълкуване на условиито изборите ще се кодират с по-сложни низове, в които буквата A ще участва със съответен индекс, от 1 до 10, чиито възможности за избор ще се ограничават на всяка стъпка от съставния 10 стъпков избор, при което, обаче, накрая, на базата на низа с индекси ще се съставя и придпужаващ го низ биз индекси отразяващ резултативен избор на 10 книги чрез 10 стъпков детерминистичен избор на 10 екземпляра от книги. При такова тълкуване на условието на задачага отговорът ще е $20.19.18.17.16.15.14.13.12.11=(20!)/(10!)= 670442572800=2^{10}.3^4.5^2.7.11.13.17.19$за броят на ,,начините" за избор на 10 книги от представените на рафта чрез точно определено за всеки начин поредица от 10 сваляния от рафта на по 1 екземпляр, макар че резулатите от тези избори отново ще бъдат комплекти от по до 10, не винаги 10, избрани книги, които резултати от изпълнение на начини ще са $2^{10}$ на брой. като комплекти без подредба и без повторения. Ако при моето допълнително изменено тълкуване накрая пуснем цифрите от получилия се резултативен низ в една прозрачна наелонова торбичка като от цифрите А пуснем само по максимум 1 брой, то при такова кодиране на ,,начините" от условиието, отговорът на зодачата пак ще е (20!)/(10!) въпреки, че броят на възможноте състави на торбичките придружаващи моя низ с индексирани А ще бъде само $2^{10}$. Съответно и твоят отговор би си останал същия ако придружим твоя низ с неиндексирани А със съответна резултираща торбичка, с каквато торбичка придружаваме и моите низове с индиксирани А. Ако обаче, от така заформилите се по-сложни кодирания чрез низове (твои или мои) придружени с торбички отхвърлим низовете и оставим само трбичките, то при такова тълкуване и кодиране но ,,начините" от условието на задачата отговорътт ще е $2^{10}$, както претендират тук някои други членове на форума.

[Румен Симеонов]

Май не внимаваш, не бях аз този, който даде отговора!

Внимавам. Под мой коментар на отговорр
$2^{10}$,
където питах за обосновка, ти записа, ,,кратичко":
[tex]{10 \choose 0}+{10 \choose 1}+{10 \choose 2}+\cdots+{10 \choose 10}[/tex]
С това ти даде твоя обосновка на $2^{10}$ указвайки, че то е равно на
[tex]{10 \choose 0}+{10 \choose 1}+{10 \choose 2}+\cdots+{10 \choose 10}[/tex],
с което със сигурнаст и сам даде отговор:
[tex]{10 \choose 0}+{10 \choose 1}+{10 \choose 2}+\cdots+{10 \choose 10}[/tex].
Сега какво, отказваш ли се, че си дал от свое име този си отговор, така записан (независимо дали си го дал като отделен отговор или като потвърждение на друг отговор даден от друг)? Въобще като не ти стигат думите, много трябва да те питаме допълнително да се изясняваш. Ама що ли си губя времето да се занимавам с теб.

[peyo]

1. На рафт в библиотека са разположени 10 екземпляра от една и съща книга и още 10 други, различни помежду си (както и от книгата в 10 екземпляра) книги. По колко начина могат да бъдат избрани 10 книги?

...
[tex]К = \sum_{i=0}^{10 }{10 \choose i} \frac{10!}{i!}[/tex]

Да видим колко точно е това?:
In [158]: sum( [ math.comb(10,i)*math.factorial(10)/math.factorial(i) for i in range(11)])
Out[158]: 234662231.0

И сега един сериозен въпрос, този отговор верен ли е? Можем да го проверим ако направим всички 10 извадки от 20-те книги и преброим уникалните? Броя на тези пермутации е 20*19*18*17*16*15*14*13*12*11 = 670,442,572,800

Това е повече отколкото моя компютър може да направи за някакво разумно време (аз съм склонен да чакам не повече от 5 минути обикновено).
...

Нещо не ми харесва това, че не можем да проверим отговора за 10. Дори ако не можем да преброим всички случаи, може би има начин да направим симулация и да намерим приблизителен отговор?!

Идеята е следната. Ще генерираме случайни подреждания и ще броим относителния брой на уникалните. След това ще трябва да помислим как от тези данни да получим отговора?!

За съжаление това щеше да работи ако можехме да генерираме случайните подреждания равновероятно. Тогава щяшме да приложим формулите от парадокса на рождените дни. Уви числата което можем да генерираме не са равновероятни и за момента не се сещам как мога да генерирам такива или да компенсирам, затова ще сменим подхода.


Вместо това ще решим задачата с програмиране. Да напишем рекурсивна функция $f$ която да изчисли броя начини. Тя ще има следните параметри:
$f(p,a,r)$
p- броят на пермутационните елементи '0'-'9' от 0 то 10
a- броят на А елементите 'А' от 0 до 10
r- оставащи позиции в началото 10
целта е да изчислим

$f(10,10,10)$

Да напишем стоп условията (частни случаи):
$f(0,0,r) = 0$
$f(0,a,r) = 1$
$f(p,a,1) = p+1$
$f(p,0,r) = p!/(p-r)!$

И сега общата логиката на самата функция:

$f(p,a,r) = p * f(p-1,a,r-1) + f(p,a-1,r-1)$

Какво означава горното и защо е така е малко дълго за обяснение. И сега да напишем функцията на Python

Код: Избери целия код

def f(p,a,r):
   if p==0 and a==0:
      return 0
   if r==1:
      return p + 1
   if p==0:
      return 1
   if a==0:
      return math.factorial(p)/math.factorial(p-r)
      
   return  p*f(p-1,a,r-1) + f(p,a-1,r-1)

In [156]: f(10,10,10)
Out[156]: 234662231

In [157]: f(7,7,7)
Out[157]: 130922

Имаме съвпадения с предишните изчисления, което е добре.