Да се докаже...

[Kiro]

За редицата [tex]a_0, a_1 , a_2...[/tex] е известно, че
[tex]|a_0=1[/tex]
[tex]|a_{n+1}=(n+1)a_n+(-1)^{n+1}[/tex]
Да се докаже, че за всяко [tex]n\ge 2 , n! < 3a_n[/tex]

[martin.nikolov]

Трябва да си оправиш малко задачата. Индекса не е добре написан. И така написаното неравенство не е вярно за n=3. Или трябва да бъде нестрого неравенство или за n>3. Може да изпозваш индукция.

п.с. Защо си я сложил в този раздел!

[Kiro]

Оправих си индекса. Защото е задача по дискретни структури. Иначе и аз се пробвах с индукция.
След като сметнах [tex]a_n=(n+1)^n a_0+(-1)^{n+1}(\frac{(n+1)^n-1}{n })[/tex] , тоест трябва да докажем, че
[tex]n! < 3[(n+1)^n+(-1)^{n+1}(\frac{(n+1)^n-1}{n })][/tex]
за по-лесно разглеждам два случая, когато n - четно и нечетно. Но не мога да докажа, примерно при n-четно, защо
[tex]\frac{(n+1)[(n+1)^n(n-1)+1]}{n } < \frac{[(n+2)^n*n+1]}{ n+1}[/tex]

[martin.nikolov]

Неравенството [tex]3a_n>n![/tex] е еквивалентно на [tex]3a_n\ge n!+1[/tex].

На индукционата стъпка имаш

[tex]3a_{n+1}=(n+1)3a_n+3(-1)^{n+1}\ge (n+1)!+(n+1)-3\ge (n+1)!+1[/tex]

което е вярно за n>3.

п.с. Явно са ви я дали по някакъв предмет наречен "дискретни структури" това не я прави задача за раздела дискретна математика.

[Kiro]

Защо [tex]3a_n>n![/tex] е еквивалентно на [tex]3a_n \ge n!+1[/tex] и [tex]3a_{n+1}=(n+1)3a_n+3(-1)^{n+1}\ge (n+1)!+(n+1)-3[/tex]
Не схващам цялата логика. Не трябва ли да се изведе формулата за [tex]a_n[/tex]спрямо [tex]a_0?[/tex]

п.с. почти съм сигурен, че няма грешка в условието, понеже се е падало на контролно.

[martin.nikolov]

Защо [tex]3a_n>n![/tex] е еквивалентно на [tex]3a_n \ge n!+1[/tex]

Защото са цели числа. За цели [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] строгото неравенство [tex]a>b[/tex] е същото като нестрогото [tex]a\ge b+1[/tex], това не е ли ясно.

и [tex]3a_{n+1}=(n+1)3a_n+3(-1)^{n+1}\ge (n+1)!+(n+1)-3[/tex]
Не схващам цялата логика.

Тук изпозваме индукция.

Не трябва ли да се изведе формулата за [tex]a_n[/tex]спрямо [tex]a_0?[/tex]

Не е задълвително. В условието не се казва да се намери формула за общия член.

п.с. почти съм сигурен, че няма грешка в условието, понеже се е падало на контролно.

Просто замести n=3.