Да се опрости интерполационен полином

[Гост]

Здравейте,
Може ли някой да разясни, как се опростяват интерполационни полиноми ?

Да се опрости израза:
-[tex]\frac{1}{6 }[/tex](x-1)(x-2)(x-3) + (x)(x-2)(x-3) + [tex]\frac{3}{2}[/tex](x)(x-1)(x-3) + [tex]\frac{2}{3}[/tex](x)(x-1)(x-2)

[Knowledge Greedy]

Много лесно.

Първи начин. Разкриваме скобите. Ще се получат 8+4+4+4=20 едночлена, които като приведем, ще получим полином от 3-та степен.
Подробно ...
[tex]P(x)=-\frac{1}{6 }(x-1)(x-2)(x-3) + (x)(x-2)(x-3) + \frac{3}{2}(x)(x-1)(x-3) + \frac{2}{3}(x)(x-1)(x-2)[/tex]

[tex]P(x)=-\frac{1}{6 }(x^3-6x^2+11x-6) + (x^3-5x^2-6x) + \frac{3}{2}(x^3-4x^2+3x) + \frac{2}{3}(x^3-3x^2+2x)[/tex]

[tex]P(x)=\left ( -\frac{1}{6 } +1+\frac{3}{2}+\frac{2}{3}\right )x^3 +\left ( 1-5 -6-2 \right )x^2+(- \frac{11}{ 6} +6+\frac{9}{2 } +\frac{4}{3 })x + 1[/tex]

[tex]P(x)=3x^3 -12x^2+10x + 1[/tex]


Втори начин. Нека полиномът е [tex]P(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex] . Като дадем четири различни стойности на [tex]x[/tex], ще получим четири стойности на [tex]y[/tex] и от получената линейна система от 4-ри уравнения с четири неизвестни [tex]a,b,c[/tex] и [tex]d[/tex] намираме коефициентите на [tex]P(x)[/tex], значи и самия [tex]P(x).[/tex]

От една страна
[tex]\begin{array}{|l}
P(0)=d\\
P(1)=a+b+c+d\\
P(2)=8a+4b+2c+d\\
P(3)=27a+9b+3c+d
\end{array}[/tex]

От друга страна - тъй като [tex]P(x)=-\frac{1}{6 }(x-1)(x-2)(x-3) + (x)(x-2)(x-3) + \frac{3}{2}(x)(x-1)(x-3) + \frac{2}{3}(x)(x-1)(x-2)[/tex],
то
[tex]\begin{array}{|l}
P(0)=-\frac{1}{6 } (0-1)(0-2)(0-3)=1\\
P(1)=1.(1-2)(1-3)=2\\
P(2)=\frac{3}{2}(2)(2-1)(2-3)=-3\\
P(3)=\frac{2}{3}(3)(3-1)(3-2)=4
\end{array}[/tex]

Следователно
[tex]\begin{array}{|l}
d=1\\
a+b+c+d=2\\
8a+4b+2c+d=-3\\
27a+9b+3c+d=4
\end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}
d=1\\
a+b+c=1\\
7a+3b+c=-5\\
26a+8b+2c=2
\end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}
a=3\\
b=-12\\
c=10\\
d=1
\end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]

Полиномът е
[tex]P(x)=3x^3-12x^2+10x+1[/tex]

Теорията казва, че каквито и стойности на [tex]x[/tex] да даваме, винаги полиномът [tex]P(x)[/tex] ще бъде един и същ.

[Гост]

Ах, чувствам се тъп .
Благодаря, вторият вариант беше това, което търсех.