Числени методи

[Гост]

Здравейте, нуждая се от помощ с тези две задачи:
5. Нека [tex]l_{nk}[/tex](x), k = 0, . . . , n, са базисните полиноми на Лагранж, съответни
на възлите [tex]x_{0}[/tex], . . . , [tex]x_{n}[/tex], ω(x) = (x − [tex]x_{0 }[/tex])· · ·(x − [tex]x_{n }[/tex]),
[tex]\varphi _{k }[/tex](x)=(1-[tex]\frac{ω''(x_{k) } }{ω'( x_{k })}(x-x_{k }[/tex]))[tex]l^2_{kn}[/tex](x)). k=0,..., n
Докажете, че [tex]\varphi'_{k }[/tex](x)=0
6. Докажете, че функциите {1, [tex]e^{2 x}[/tex], [tex]e^{5x ^2}[/tex]}
образуват система на Чебишов в (−∞, ∞).

[Tilko]

6. Докажете, че функциите {1, [tex]e^{2x }[/tex], [tex]e^{5 x^{2 } }[/tex]} образуват система на Чебишов в (-[tex]\infty[/tex], [tex]\infty[/tex])

За да докажем, че функциите {1, [tex]e^{2x }[/tex], [tex]e^{5 x^{2 } }[/tex]} образуват система на Чебишов в интервала (-[tex]\infty[/tex], [tex]\infty[/tex]), трябва да покажем, че функциите отговарят на условието на Чебишов, а именно: |f(x)| ≤ M, за всяко x ∈ (-∞, ∞) и f(x) ≠ константа
1. За f(x) = 1:
|f(x)| = 1 ≤ 1, за всяко x ∈ (-[tex]\infty[/tex], [tex]\infty[/tex]) [tex]\Rightarrow[/tex] отговаря на условието на Чебишов.
2. За f(x) = e^(2x):
|f(x)| = |e^(2x)| = e^(2x) ≤ e^(2M), за всяко x ∈ (-[tex]\infty[/tex], [tex]\infty[/tex]), където M > 0. [tex]\Rightarrow[/tex] e^(2x) отговаря на условието на Чебишов.
3. За f(x) = e^(5x^2):
|f(x)| = |e^(5x^2)| = e^(5x^2) ≤ e^(5M^2), за всяко x ∈ (-[tex]\infty[/tex], [tex]\infty[/tex]), където M > 0. [tex]\Rightarrow[/tex] e^(5x^2) отговаря на условието на Чебишов.
Тъй като всички функции отговарят на условието на Чебишов, можем да заключим, че {1, [tex]e^{2x }[/tex], [tex]e^{5 x^{2 } }[/tex]} образуват система на Чебишов в интервала (-[tex]\infty[/tex], [tex]\infty[/tex]).