Задача

[Гост]

Нека [tex]T[/tex] е множеството на всички тройки [tex](a,\, b,\, c)[/tex] от положителни цели числа, за които съществуват триъгълници със страни [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] . Изразете [tex]\sum_{(a,\, b,\, c)\in T}\frac{2^{a}}{3^{b}.5^{c}}[/tex] като несъкратима дроб.

[Гост]

Нека [tex]T[/tex] е множеството на всички тройки [tex](a,\, b,\, c)[/tex] от положителни цели числа, за които съществуват триъгълници със страни [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] . Изразете [tex]\sum_{(a,\, b,\, c)\in T}\frac{2^{a}}{3^{b}.5^{c}}[/tex] като несъкратима дроб.

Нека сумата е [tex]S[/tex]. Реалните числа [tex]a, b, c[/tex] са дължини на страни на триъгълник тогава и само тогава, когато [tex]p-a, p-b, p-c >0[/tex], [tex]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex].
Полагаме [tex]x=2(p-a), y=2(p-b), z=2(p-c)[/tex], [tex]x, y, z>0[/tex]
[tex]\Rightarrow a=\frac{y+z}{2}, b=\frac{x+z}{2}, c=\frac{x+y}{2}[/tex]
За да бъдат [tex]a, b, c[/tex] цели, числителите трябва да се делят на 2, т.е. да са четни числа [tex]\Rightarrow x, y, z[/tex] трябва да са само четни или само нечетни:
[tex]S=\sum_{(x, y, z>0)\, нечетни}\frac{2^{\frac{y+z}{2}}}{3^{\frac{x+z}{2}}.5^{\frac{x+y}{2}}}+\sum_{(x, y, z>0)\, четни}\frac{2^{\frac{y+z}{2}}}{3^{\frac{x+z}{2}}.5^{\frac{x+y}{2}}}[/tex]
В първия случай полагаме [tex]x=2u+1, y=2v+1, z=2w+1[/tex], а във втория-[tex]x=2u, y=2v, z=2w[/tex]
[tex]\Rightarrow S=\sum_{u, v, w=0}^{\infty }\frac{2^{v+w}.2}{3^{u+w}.3.5^{u+v}.5}+\sum_{u, v, w=1}^{\infty }\frac{2^{v+w}}{3^{u+w}.5^{u+v}}=S_{1 }+S_{2 }[/tex]
[tex]S_{1 }=\frac{2}{15}\sum_{u, v, w=0}^{\infty }(\frac{1}{15})^{u}.(\frac{2}{5})^{v}.(\frac{2}{3})^{w}=\frac{2}{15}\sum_{u=0}^{\infty }(\frac{1}{15})^{u}\sum_{v=0}^{\infty }(\frac{2}{5})^{v}\sum_{w=0}^{\infty }(\frac{2}{3})^{w}=\frac{2}{15}\frac{1}{1-\frac{1}{15}}\frac{1}{1-\frac{2}{5}}\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{5}{7}[/tex] (геометрични прогресии с частно <1)
[tex]S_{2 }=\sum_{u=1}^{\infty }(\frac{1}{15})^{u}\sum_{v=1}^{\infty }(\frac{2}{5})^{v}\sum_{w=1}^{\infty }(\frac{2}{3})^{w}=\frac{\frac{1}{15}}{1-\frac{1}{15}}\frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{2}{5}}\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}=\frac{2}{21}[/tex]
[tex]\Rightarrow \boxed {S=\frac{17}{21}}[/tex]. [tex]_\square[/tex]