Забавни задачки от Съветския съюз

[ammornil]

зад.1) Намерете всички четирицифрени числа, които са точни квадрати, първите им две цифри са еднакви една на друга, и последните им две цифри са еднакви една на друга.

зад.2) Намерете всички трицифрени числа които са равни на сбора от факториелите на своите цифри.

зад.3) Намере всички числа, равни на сбора от квадратите на своите цифри.

$\\[24pt]$

Скрит текст: покажи

От "Книга със задачи от математически олимпиади на СССР - Избрани проблеми и теореми от елементарната математика"; Шкларски Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М.; Москва 1962.

[pal702004]

Скрит текст: покажи

Задача 1:
$1100a+11b=\square$

$100a+b=11n^2$

$11 \mid a+b \Longrightarrow a+b=11$

$9a+1=n^2$

$ n\equiv \pm 1 \pmod 9$

$n=8,a=7,b=4$

$\boxed{7744}$

Задача 2:
Не може да има цифра, по-голяма от $6$. Но не може да има и $6$, защото $6!=720$ и вече има цифра, по-голяма или равна на $7$. Трябва да има поне една петица, защото иначе сбора на факториалите няма е трицифрен. С две или три петици не става - лесно се проверява.

Значи числото е или $\overline{1x5}$ или $\overline{15x}$
Първи случай:
$105+10x=121+x!$
$10x-x!=16$
$x=4$

Втри случай:
$150+x=121+x!$
$x!-x=29$

$29$ е просто и се дели на $x$ - не става.
$\boxed{145}$

Задача 3:
Числото е с най-много 3 цифри. (от неравенството $10^{k-1}>k\cdot 9^2$)
Ако е трицифрено, цифрата на стотиците трябва да е $1$. Диофантовите уравнения нямат решения при ограниченията $[0;9]$
Така че $\boxed{0,1}$