Лице на ромб

[Nuki]

АВСD e ромб, R е радиусът на описаната около АВС окръжност, а r е радиусът она описаната около АBD oкръжност. Лицето на ромба е

[Anubis]

Означил съм ти необходимите неща на чертежа. Нека [tex]\angle BAC = \alpha, \quad \angle ABD = 90^\circ - \alpha[/tex].

[tex]\frac{a}{\sin \alpha} = 2R, \quad \frac{a}{\sin(90^\circ - \alpha)} = 2r \Rightarrow \cot \alpha = \frac{R}{r} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{r}{\sqrt{R^2+r^2}}, \quad \cos \alpha = \frac{R}{\sqrt{R^2+r^2}}[/tex]

Така пресмяташ [tex]a = 2R \sin \alpha = \frac{2Rr}{\sqrt{R^2+r^2}}[/tex].

[tex]S_{ABCD} = a^2 \sin 2 \alpha = a^2 \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{4 R^2 r^2}{R^2+r^2} \cdot \frac{2Rr}{R^2+r^2} = \frac{8 R^3 r^3}{(R^2+r^2)^2}[/tex]