Трапец

[elisaveta]

1. В равнобедрен трапец диагонала е 10см, а острият му ъгъл е 45 градуса.Намерете радиуса на описаната окръжност.
2.Малката основа и бедрото на равнобедрен трапец са равни на а, а ъгълът при голямата му основа е алфа.Намерете радиуса на описаната около трапеца окръжност.
3.в равнобедрен трапец с голяма основа 12см и бедро 7см е вписана окръжност.Намерете радиусите на вписаната и описаната окръжност.
4.В равнобедрен трапец с голяма основа а и остър ъгъл алфа е вписана окръжност.Намерете:
а) Малката основа на трапеца
б) Радиуса на вписаната окръжност

БЛАГОДАРЯ предварително!

[ева]

1 зад.
ABCD-равнобедрен трапец,[tex]\angle[/tex]DAB=45[tex]^\circ[/tex] ;К(О;R)-описана
[tex]\angle[/tex]DAB=[tex]\frac{дъга BCD}{2}[/tex] (вписан);дъгата BCD=2.45[tex]^\circ[/tex]=90[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]BOD=дъга BCD (централен) [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]BOD=90[tex]^\circ[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\triangle[/tex]DOB е равноб.и правоъг.[tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]R^{2}[/tex]+[tex]R^{2}[/tex]=[tex]10^{2}[/tex] ; R=5[tex]\sqrt{2}[/tex] см.

[ева]

3 зад. ABCD-равноб.трапец,[tex]К_{1 }[/tex]([tex]О_{1 }[/tex];r)-вписана,[tex]К_{2 }[/tex]([tex]О_{2 }[/tex];R)-описана;т.М е среда на АВ,т.Н лежи на АВ така,
че DH[tex]\bot[/tex]AB;CD=b,DH=h
ABCD-описан около [tex]К_{1 }[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]AB+CD=AD+BC;12+b=7+7;b=CD=2см.
[tex]\triangle[/tex]AHD-правоъг.[tex]AH^{2}[/tex]+[tex]DH^{2}[/tex]=[tex]AD^{2}[/tex];([tex]\frac{AB-CD}{2})^{2}[/tex]+[tex]h^{2}[/tex]=[tex]7^{2}[/tex] ;([tex]\frac{12-2}{2})^{2}[/tex]+[tex]h^{2}[/tex]=49;h=[tex]\sqrt{24}[/tex]=2[tex]\sqrt{6}[/tex]см.
r=[tex]\frac{h}{2}[/tex]=[tex]\frac{2\sqrt{6}}{2}[/tex]=[tex]\sqrt{6}[/tex]см.
[tex]\triangle[/tex]HBD-правоъг.[tex]BD^{2}[/tex]=[tex]HB^{2}[/tex]+[tex]DH^{2}[/tex]=[tex]7^{2}[/tex]+24=73 [tex]\Rightarrow[/tex]BD=[tex]\sqrt{73}[/tex]см.
[tex]\frac{AB.DH}{2}[/tex]=[tex]S_{ABD }[/tex]=[tex]\frac{AD.AB.BD}{4R}[/tex] ([tex]\triangle[/tex]ABD-вписан в [tex]К_{2 }[/tex]) [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{2\sqrt{6}}{2}[/tex]=[tex]\frac{7\sqrt{73}}{4R}[/tex]
R=[tex]\frac{7\sqrt{73}}{4\sqrt{6}}[/tex].[tex]\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}[/tex]=[tex]\frac{7\sqrt{438}}{24}[/tex]см.
отг.[tex]\sqrt{6}[/tex]см.,[tex]\frac{7\sqrt{438}}{24}[/tex]см.

[ева]

4 зад.ABCD-равнобедрен трапец (AB>CD),AB=a,[tex]\angle[/tex]DAB=[tex]\alpha[/tex],K(O;r)-вписана в ABCD,т.Н лежи на АB така,че DH[tex]\bot[/tex]AB
CD=b=? r=?
ABCD-описан около К[tex]\Rightarrow[/tex]AD+BC=AB+CD т.е.AD=[tex]\frac{a+b}{2}[/tex]
[tex]\triangle[/tex]AHD-правоъг. cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{AH}{AD}[/tex]=[tex]\frac{\frac{a-b}{2}}{\frac{a+b}{2}}[/tex]=[tex]\frac{a-b}{a+b}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] a.cos[tex]\alpha[/tex]+b.cos[tex]\alpha[/tex]=a-b ; b=[tex]\frac{a(1-cos\alpha)}{1+cos\alpha}[/tex] (1)
sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{DH}{AD}[/tex]=[tex]\frac{2r}{\frac{a+b}{2}}[/tex]=[tex]\frac{4r}{a+b}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] r=[tex]\frac{(a+b)sin\alpha}{4}[/tex] ползваме (1) r=[tex]\frac{1}{4}[/tex](a+[tex]\frac{a(1-cos\alpha)}{1+cos\alpha}[/tex])sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{1}{4}[/tex].[tex]\frac{a+a.cos\alpha+a-a.cos\alpha}{1+cos\alpha}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{a.sin\alpha}{2(1+cos\alpha)}[/tex]

отг.[tex]\frac{a(1-cos\alpha)}{1+cos\alpha}[/tex] ; [tex]\frac{a.sin\alpha}{2(1+cos\alpha)}[/tex]

[ева]

2 зад.
ABCD-равноб.трапец,[tex]\angle[/tex]DAB=[tex]\alpha[/tex],AD=BC=CD=a
[tex]\triangle[/tex]ACD-равноб.[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]ACD=[tex]\angle[/tex]DAC ;също [tex]\angle[/tex]ACD=[tex]\angle[/tex]BAC (кръстни) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]DAC=[tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]
[tex]\triangle[/tex]ABC-вписан [tex]\frac{BC}{sin\frac{\alpha}{2}}[/tex]=2R (sin T) [tex]\Rightarrow[/tex]R=[tex]\frac{a}{2sin\frac{\alpha}{2}}[/tex]